Styczne do sfer, równość odcinków

[patry93]

Witam.

Mamy dane dwie rozłączne sfery i prowadzimy dwie wspólne styczne \(\displaystyle{ A_1A_2 \ i \ B_1B_2}\) zewnętrzne do nich, gdzie punkty \(\displaystyle{ A_1, B_1}\) leżą na pierwszej sferze, a pozostałe na drugiej.
Pokazać, że \(\displaystyle{ |A_1A_2|=|B_1B_2|}\)

Jeśli dane styczne przecinają się, powiedzmy z punkcie \(\displaystyle{ K}\), to tezę dostajemy natychmiast, gdyż \(\displaystyle{ |KA_1|=|KB_1| \ i \ |KA_2|=|KB_2|}\).
Prosiłbym o wskazówkę, co zrobić, gdy te styczne są skośne.

Z góry dziękuję.

[timon92]

Rozważyć obrót wokół prostej przechodzącej przez środki tych sfer.

Ewentualnie policzyć z Pitagorasa długość każdego z odcinków \(\displaystyle{ A_1A_2, B_1B_2}\)

//edit: tak w ogóle to styczne zewnętrzne do sfer chyba nie mogą być skośne

[patry93]

Z obrotem nie ogarniam niestety...

Czy z Pitagorasem chodzi o to, aby zapisać \(\displaystyle{ |A_1A_2|^2=|O_1A_2|^2-|R_1|^2 , \ |B_1B_2|^2=|O_1B_2|^2-|R_1|^2}\) ? Problem w tym, że raczej \(\displaystyle{ O_1A_2 \ i \ O_1B_2}\) nie są stycznymi, więc porównanie tych długości może być trudne...

Hm, sam nie potrafię sobie dobrze wyobrazić tych stycznych, ale przy pomocy komputera sprawdziłem (w przybliżeniu, tj. te proste nie są dokładnie stycznymi), że jednak mają chyba prawo się nie przecinać:


W sumie to też nie wiem, czym się charakteryzują styczne "zewnętrzne" w przestrzeni - czy są one dowolne, czy istnieją też jakieś "wewnętrzne"?

[timon92]

no właśnie jest problem jak definiuje się styczne zewnętrzne do sfer

na płaszczyźnie nie ma problemu, bo istnieją tylko 4 proste styczne do dwóch rozłącznych okręgów - w przestrzeni zaś tych stycznych jest nieskończenie wiele i z tego co mi się wydaje, to te odcinki wcale nie muszą być równe