sześcian i płaszczyzna

[daisy89]

Dany jest sześcian \(\displaystyle{ ABCDA_1B_1C_1D_1}\). \(\displaystyle{ M}\) to punkt przecięcia przekatnej \(\displaystyle{ AC_1}\) z płaszczyzną \(\displaystyle{ A_1BD}\). Ile wynosi stosunek \(\displaystyle{ \frac{|AM|}{|AC_1|}}\)??

Czy ktoś wie jak to obliczyć? Czy to jest 1:3?

Czy ktoś mógłby mi pomóc to rozwiązać?

[kropka+]

Mnie wyszło \(\displaystyle{ \frac{1}{2+ \sqrt{2} }}\) ale robiłam na szybko, więc nie jestem pewna.
Metoda była taka, że narysowałam drugą przekątną sześcianu BD1 i oznaczyłam punkt przecięcia przekątnych jako S. Potem zrzutowałam punkty S i M na podstawę sześcianu i rozpatrywałam trójkąt ASS1 i zawarty w nim trójkąt AMM1. Kąt AS1M wynosi 45 stopni to MM1=M1S1 i dalej już jakoś leci.

[daisy89]

Dziękuję bardzo -- 6 sty 2011, o 20:50 --A czy mogłabyś mi jeszcze powiedzieć czy tu trzeba z podobieństwa i Pitagorasa korzystać? I które boki?

[kropka+]

Z Pitagorasa liczysz przekątną kwadratu i przekątną sześcianu. Potem z podobieństwa trójkątów:

\(\displaystyle{ \frac{\left| SS _{1} \right| }{\left| AS _{1} \right| }= \frac{\left| MM _{1} \right| }{\left| AS _{1} \right| - \left| MM _{1} \right| }}\)

Z tego wyliczasz MM1 i potem

\(\displaystyle{ \frac{\left| SS _{1} \right| }{\left| AS\right| }= \frac{\left| MM _{1} \right| }{\left| AM\right| }}\)

I z tego wyliczasz AM.
Oczywiście

\(\displaystyle{ \left| AC _{1} \right|= 2\left| AS\right|}\)

[daisy89]

Dziękuję bardzo dziękuję