W dany równoległościan \(\displaystyle{ ABCD A' B' C' D'}\) wpisujemy czworościan \(\displaystyle{ ACB'D'}\).
Udowodnić, że środek ciężkości czworościanu pokrywa się ze środkiem ciężkości równoległościanu oraz, że środkowe czworościanu są przekątnymi równoległościanu.
Zależałoby mi na rozwiązaniu nieanalitycznym, aczkolwiek niekoniecznie koniecznie
Z góry dziękuję.-- 3 stycznia 2011, 18:08 --O, chyba udało mi się to rozgryźć i, o ile mam dobrze, problem okazał się nietrudny
Proszę o sprawdzenie:
Ukryta treść:
Wykażę najpierw, że środkowe czworościanu są przekątnymi równoległościanu, ponieważ z tego natychmiast dostajemy część pierwszą tezy, gdyż punkt przecięcia się przekątnych równoległościanu jest jego środkiem ciężkości (mam rację?).
Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie punktem przecięcia przekątnych \(\displaystyle{ BC' \ i \ B'C}\) równoległoboku \(\displaystyle{ BCC'B'}\). Wówczas \(\displaystyle{ AK}\) jest środkową trójkąta \(\displaystyle{ ACB'}\), więc środkowa danego czworościanu poprowadzona z punktu \(\displaystyle{ D'}\) leży na płaszczyźnie \(\displaystyle{ AKD'}\). Ponadto \(\displaystyle{ AD' || BK}\), więc punkty \(\displaystyle{ A, B, K, D'}\) leżą na jednej płaszczyźnie. Przez \(\displaystyle{ E}\) oznaczmy punkt przecięcia odcinków \(\displaystyle{ AK \ i \ BD'}\). Trójkąty \(\displaystyle{ AED' \ i \ KEB}\) są podobne (cecha kkk), więc z uwagi, że \(\displaystyle{ | AD' | = 2 | BK |}\) otrzymujemy, iż \(\displaystyle{ \frac{ |AE| }{| EK |} = \frac{2}{1}}\), więc E jest środkiem ciężkości trójkąta \(\displaystyle{ ACB'}\), co kończy dowód.
