granastosłup-oblicz objętość

[Primerinho]

Witam, zadanie brzmi:
Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o mniejszym kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\). Przekątna najmniejszej ściany bocznej ma długość d i jest nachylona do największej ściany bocznej pod kątem \(\displaystyle{ \beta}\). Oblicz objętość graniastosłupa.

To zadanie mnie denerwuje, umiem zrobić rysunek, domyślam się gdzie najprawdopodobniej tkwi sekret rozwiązania tego zadania ale widać brakuje mi jakiejś wiedzy, żeby coś udowodnić, jakąś zależność. Bardzo proszę o jego rozwiązanie.

P.S.
Wynik tego zadania prawdopodobnie będzie dość chory więc nie zraźcie się jeśli wyjdą wam potęgi n stopnia z funkcji \(\displaystyle{ \alpha}\)


Dobra, udało mi się to zrobić ale chciałbym żebyście potwierdzili czy dobry wynik mi wyszedł? Jest on dziwniejszy niż się tego spodziewałem ale wyrażenie zawiera tylko dane, które mamy w zadaniu więc nie powinno być źle, ew. czy można by to skrócić?

\(\displaystyle{ V = 0,5d^{3}\tg^{2}\beta\tg\alpha \sqrt{1-\tg^{2}\alpha \tg^{2}\beta}}\)

[Chromosom]

skoro kat \(\displaystyle{ \alpha}\) jest mniejszy to bok lezacy naprzeciw niego jest tez mniejszy, oznacz go jako \(\displaystyle{ a}\), poniewaz wysokosc kazdej ze scian bocznych jest taka sama to zaznacz teraz kat \(\displaystyle{ \beta}\) oraz dlugosc \(\displaystyle{ d}\),calosc tworzy prostokat o boku \(\displaystyle{ a}\) oraz znanej przekatnej i kacie, wiesz co dalej?

[florek177]

Kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej jest rzutem prostokątnym tej przekątnej na ścianę.
W dolnej podstawie rysujemy wysokość z wierzchołka kąta prostego i z tego wierzchołka prowadzimy przekątną najmniejszej ściany; górny koniec przekątnej łączymy ze spodkiem wysokości podstawy.
Kat \(\displaystyle{ \beta \,\,\,}\) jest katem trójkąta prostokątnego, na przeciw wysokości podstawy.
Przekątna ściany bocznej jest przeciwprostokątną tego trójkąta.