ostrosłupy i graniastosłupy

[gerla]

1) Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest dwukrotnie większa od krawędzi podstawy. Oblicz \(\displaystyle{ cos}\) kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi.

2) Dany jest czworościan foremny \(\displaystyle{ ABCS}\) o krawędzi \(\displaystyle{ a}\). Oblicz pole przekroju do którego należy wysokość czworościanu i wysokość jego podstawy.

3) Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o wysokości \(\displaystyle{ \frac{5 \sqrt{33} }{3}}\). Suma długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa \(\displaystyle{ 45}\). Wyznacz długość krawędzi ostrosłupa.

4) Podstawą ostrosłupa \(\displaystyle{ ABCS}\) jest trójkąt o boku \(\displaystyle{ a}\) i kątach przyległych do tego boku \(\displaystyle{ α}\) i \(\displaystyle{ β}\). Spodek wysokości \(\displaystyle{ S}\) jest środkiem okręgu opisanego na podstawie. Wyznacz objętość ostrosłupa jeśli wiadomo, że krawędzie boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ 2α}\)

5) Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny. Krawędź podstawy ma długość \(\displaystyle{ a}\), zaś jego wysokość jest równa \(\displaystyle{ 2a \sqrt{2}}\). Wyznacz \(\displaystyle{ cos}\) kąta \(\displaystyle{ AC’B}\)

[alfgordon]

1)

wylicz sobie wysokość ściany bocznej i krawędź ostrosłupa z tw. Pitagorasa,

i potem porównaj pola ścian bocznych i wylicz wysokość ściany bocznej (ale tej narysowanej z wierzchołka podstawy)

i mając tą wysokość z tw. cosinusów wyliczysz kąt pomiędzy tymi wysokościami..

3)a- krawędź podstawy,
l- krawędź ostrosłupa
h-wysokość podstawy

\(\displaystyle{ 3a + 3l=45 \Rightarrow a+l=15}\)
i znowu z tw. Pitagorasa liczysz
\(\displaystyle{ (\frac{2}{3} h)^2 + H^2 =l^2}\)