jaką wysokość powinien mieć ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi bocznej \(\displaystyle{ 10\sqrt2}\) aby jego objętość była największa?
Proszę o pomoc w rozwiązaniu!
ostrosłup trójkątny
ostrosłup trójkątny
Ostatnio zmieniony 19 gru 2010, o 21:16 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
piasek101
- Użytkownik
- Posty: 23495
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
ostrosłup trójkątny
Objętość klasycznie.
Potem :
- zauważyć trójkąt prostokątny ( wysokość ostrosłupa, dwie trzecie wysokości podstawy; krawędź boczna)
- z pitagorasa wyznaczyć kwadrat krawędzi podstawy (bo ,,siedzi" w wysokości podstawy)
- otrzymane wstawić do objętości
- szukać max otrzymanej V(h).
Potem :
- zauważyć trójkąt prostokątny ( wysokość ostrosłupa, dwie trzecie wysokości podstawy; krawędź boczna)
- z pitagorasa wyznaczyć kwadrat krawędzi podstawy (bo ,,siedzi" w wysokości podstawy)
- otrzymane wstawić do objętości
- szukać max otrzymanej V(h).
ostrosłup trójkątny
Bardzo proszę o przeanalizowanie tego zadania - czy tak ma to być rozwiązane?
po podstawieniu wzoru na pole trójkąta równobocznego otrzymujemy wzór na objętość \(\displaystyle{ V=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{12}H}\)
z tw. Pitagorasa \(\displaystyle{ H^{2}+(\frac{2a\sqrt{3}}{6})^2=(10\sqrt{2})^2}\)
przekształcając:
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{3}=200-H^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}=600-3H^{2}}\)
podstawiam do wzoru na objętość w miejsce \(\displaystyle{ a^{2}}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{(600-3H^{2})\cdot\sqrt{3}}{12}H}\)
\(\displaystyle{ V=50\sqrt{3}H - \frac{\sqrt{3}H^{3}}{4}}\)
tworze funkcję \(\displaystyle{ f(H)}\)
\(\displaystyle{ f(H)=50\sqrt{3}H - \frac{\sqrt{3}H^{3}}{4}}\)
licze pochodna funkcji \(\displaystyle{ f(H)}\)
\(\displaystyle{ f'(H)=50\sqrt{3}- \frac{3\sqrt{3}H^{2}}{4}}\)
zeruję pochodną \(\displaystyle{ 0=50\sqrt{3}- \frac{3\sqrt{3}H^{2}}{4}}\)
\(\displaystyle{ H^{2}=\frac{200}{3}}\) zatem \(\displaystyle{ H_{1}=\sqrt\frac{200}{3}}\); \(\displaystyle{ H_{2}=-\sqrt\frac{200}{3}}\) (\(\displaystyle{ H_{2}}\) ujemne więc odpada)
parabola będzie rysowana z dołu zatem pochodna zmieni znak z "+" na "-" w \(\displaystyle{ H_{1}=\frac{10\sqrt{6}}{3}}\) - a to jest maximum
po podstawieniu wzoru na pole trójkąta równobocznego otrzymujemy wzór na objętość \(\displaystyle{ V=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{12}H}\)
z tw. Pitagorasa \(\displaystyle{ H^{2}+(\frac{2a\sqrt{3}}{6})^2=(10\sqrt{2})^2}\)
przekształcając:
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{3}=200-H^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}=600-3H^{2}}\)
podstawiam do wzoru na objętość w miejsce \(\displaystyle{ a^{2}}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{(600-3H^{2})\cdot\sqrt{3}}{12}H}\)
\(\displaystyle{ V=50\sqrt{3}H - \frac{\sqrt{3}H^{3}}{4}}\)
tworze funkcję \(\displaystyle{ f(H)}\)
\(\displaystyle{ f(H)=50\sqrt{3}H - \frac{\sqrt{3}H^{3}}{4}}\)
licze pochodna funkcji \(\displaystyle{ f(H)}\)
\(\displaystyle{ f'(H)=50\sqrt{3}- \frac{3\sqrt{3}H^{2}}{4}}\)
zeruję pochodną \(\displaystyle{ 0=50\sqrt{3}- \frac{3\sqrt{3}H^{2}}{4}}\)
\(\displaystyle{ H^{2}=\frac{200}{3}}\) zatem \(\displaystyle{ H_{1}=\sqrt\frac{200}{3}}\); \(\displaystyle{ H_{2}=-\sqrt\frac{200}{3}}\) (\(\displaystyle{ H_{2}}\) ujemne więc odpada)
parabola będzie rysowana z dołu zatem pochodna zmieni znak z "+" na "-" w \(\displaystyle{ H_{1}=\frac{10\sqrt{6}}{3}}\) - a to jest maximum