kula w czworościanie

kicek91 · Post autor: **kicek91** » 16 gru 2010, o 16:42

W czworościan foremny o krawędzi = 6cm, wpisano kulę. Oblicz Pole powierzchni całkowitej wpisanej kuli.

Czyli
dane: a=6cm
szukane V(kuli)=?

Zadanie sprawiło nam dzisiaj na matematyce niemały problem, nawet matematykowi. Udało się nam jakoś rozwiązać ale nie wierze ze dobrze zrobiliśmy. Siedzę nad tym zadaniem jakiś czas i ciekawi mnie jak wy byście rozwiązali?

Justka · Post autor: **Justka** » 16 gru 2010, o 17:15

z podobieństwa, niech będzie to czworościan foremny ABCS, S' spodek wysokości, O środek kuli wpisanej i zarazem opisanej, O' rzut prostokątny punktu O na sciane boczną oraz K środek krawędzi podstawy. Wtedy wysokość ściany bocznej \(\displaystyle{ h=|SK|}\). W dodatku mamy \(\displaystyle{ OS'=OO' = r}\) oraz \(\displaystyle{ OS=H-r}\) (wielkości h i H oraz odcinek S'K bez problemu można uzależnić od długości krawędzi czworościanu), z podobieństwa tójkatów \(\displaystyle{ S'KS}\) i \(\displaystyle{ OO'S}\) , mamy proporcję

\(\displaystyle{ \frac{OO'}{OS} = \frac{S'K}{SK}}\) i z tego łatwo wyznaczyć długość promienia.

Jesli dobrze policzyłam pole powierzchni kuli jest równe \(\displaystyle{ P=6\pi}\) .

kicek91 · Post autor: **kicek91** » 16 gru 2010, o 20:41

dobrze policzyłeś... też to próbowałem zrobić podobieństwem ale potem znalazłem wzór na promień kuli wpisanej w czworościan foremny