\(\displaystyle{ \angle{APB}+\angle{APC}+\angle{APD}+\angle{BPC}+\angle{BPD}+\angle{CPD}>3\pi}\)
nierówność w czworościanie
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
nierówność w czworościanie
Zrzutować punkt P na krawędzie czworościanu i zauważyć, że każdy kąt o wierzchołku \(\displaystyle{ P_1, P_2, ...,P_6}\), gdzie \(\displaystyle{ P_1, P_2, ...,P_6}\) to właśnie owe rzuty, jest mniejszy bądź równy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), stąd teza.
Mam nadzieję, że dostatecznie jasno napisałem
Mam nadzieję, że dostatecznie jasno napisałem
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
nierówność w czworościanie
które dokładnie kąty?tometomek91 pisze:każdy kąt o wierzchołku \(\displaystyle{ P_1, P_2, ...,P_6}\), gdzie \(\displaystyle{ P_1, P_2, ...,P_6}\) to właśnie owe rzuty, jest mniejszy bądź równy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
nierówność w czworościanie
To nie będą te punkty, o których myślałem. Musimy znaleźć punkty przeciącia każdej z płaszczyzn wyznaczonej przez np. punkty \(\displaystyle{ ABP}\) z krawędzią \(\displaystyle{ CD}\). Teraz trzeba pokazać (tak mi się wydaje), że można podobierać w pary te kąty tak, że ich suma nie przekracza \(\displaystyle{ \pi}\). Na razie nie mam pomysłu, pomyslę później.
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
nierówność w czworościanie
jeśli chodzi o rozwiązanie, to można pokazać, że
\(\displaystyle{ \angle APB + \angle BPC + \angle CPD + \angle DPA > 2 \pi \\
\angle APD + \angle DPB + \angle BPC + \angle CPA > 2 \pi \\
\angle APC + \angle CPD + \angle DPB + \angle BPA > 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ \angle APB + \angle BPC + \angle CPD + \angle DPA > 2 \pi \\
\angle APD + \angle DPB + \angle BPC + \angle CPA > 2 \pi \\
\angle APC + \angle CPD + \angle DPB + \angle BPA > 2 \pi}\)