nierówność w czworościanie

[darek20]

Dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ P}\) wewnątrz czworościanu \(\displaystyle{ ABCD}\), pokaż że

\(\displaystyle{ \angle{APB}+\angle{APC}+\angle{APD}+\angle{BPC}+\angle{BPD}+\angle{CPD}>3\pi}\)

[tometomek91]

Zrzutować punkt P na krawędzie czworościanu i zauważyć, że każdy kąt o wierzchołku \(\displaystyle{ P_1, P_2, ...,P_6}\), gdzie \(\displaystyle{ P_1, P_2, ...,P_6}\) to właśnie owe rzuty, jest mniejszy bądź równy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), stąd teza.
Mam nadzieję, że dostatecznie jasno napisałem

[timon92]

każdy kąt o wierzchołku \(\displaystyle{ P_1, P_2, ...,P_6}\), gdzie \(\displaystyle{ P_1, P_2, ...,P_6}\) to właśnie owe rzuty, jest mniejszy bądź równy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)

które dokładnie kąty?

[tometomek91]

To nie będą te punkty, o których myślałem. Musimy znaleźć punkty przeciącia każdej z płaszczyzn wyznaczonej przez np. punkty \(\displaystyle{ ABP}\) z krawędzią \(\displaystyle{ CD}\). Teraz trzeba pokazać (tak mi się wydaje), że można podobierać w pary te kąty tak, że ich suma nie przekracza \(\displaystyle{ \pi}\). Na razie nie mam pomysłu, pomyslę później.
Pozdrawiam.

[timon92]

jeśli chodzi o rozwiązanie, to można pokazać, że
\(\displaystyle{ \angle APB + \angle BPC + \angle CPD + \angle DPA > 2 \pi \\
\angle APD + \angle DPB + \angle BPC + \angle CPA > 2 \pi \\
\angle APC + \angle CPD + \angle DPB + \angle BPA > 2 \pi}\)