dowód z kątami prostopadłościanu

[rachu_ciachu]

Wykaż, że przekątna \(\displaystyle{ BD'}\) prostopadłościanu \(\displaystyle{ ABCDA'B'C'D'}\) tworzy z jego krawędziami \(\displaystyle{ AB}\), \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ BB'}\) kąty \(\displaystyle{ \alpha, \beta,\gamma}\) takie, że \(\displaystyle{ cos ^{2} \alpha +cos ^{2} \beta +cos ^{2} \gamma=1}\)-- 12 gru 2010, o 17:18 --już mam.
W razie czego wrzucam rozwiązanie:

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{AB}{BD'}}\)

\(\displaystyle{ cos \beta = \frac{BC}{BD'}}\)

\(\displaystyle{ cos \gamma = \frac{BB'}{BD'}}\)

Oznaczamy sobie dla ułatwienia że
\(\displaystyle{ |AB|=a, |BC|=b, |BB'|=c, |BD'|= \sqrt{a ^{2}+ b^{2}+c ^{2} }}\)

po podstawieniu wszystko się skraca