Wymiary prostopadłościanu i najmniejsza Pc walca.

wilk28 · Post autor: **wilk28** » 11 gru 2010, o 22:29

Witam wszystkich.
Poszukuję pomocy w rozwiązaniu 2 zadań. Powiem szczerze, że nie wiem jak do nich się zabrać. Prosiłbym o jakieś wskazówki ewentualnie gotowe rozwiązanie.

1. Dane jest pudełko w kształcie prostopadłościanu o podstawie kwadratowej bez wieczka. Powierzchnia boczna pudełka wynosi P. Jakie powinno mieć wymiary by jego objętość była największa?

2. Znaleźć stosunek R/H promienia podstawy do wysokości walca mającego przy danej objętości V najmniejszą powierzchnię całkowitą.

anna_ · Post autor: **anna_** » 11 gru 2010, o 23:17

1.
\(\displaystyle{ a}\) - krawędź podstawy
\(\displaystyle{ h}\) - krawędź boczna
\(\displaystyle{ P}\) - powierzchnia boczna

\(\displaystyle{ P=4ah \Rightarrow h= \frac{P}{4a}}\)
\(\displaystyle{ V=a^2h=a^2 \cdot \frac{P}{4a}= \frac{aP}{4}}\)
i tu jest mały problem.
Czy tam jest aby na pewno powierzchnia boczna?

2.
\(\displaystyle{ R}\) - promień podstawy
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość

\(\displaystyle{ V= \pi R^2H \Rightarrow H= \frac{V}{\pi R^2}}\)

\(\displaystyle{ P_c=2 \pi R (R+H)}\)
\(\displaystyle{ P_c(R)=2 \pi R (R+\frac{V}{\pi R^2})}\)
szukasz tej wartości \(\displaystyle{ R}\), dla ktorej \(\displaystyle{ P_c(R)}\) osiąga minimum.
Potem liczsz \(\displaystyle{ \frac{R}{H}}\)

wilk28 · Post autor: **wilk28** » 12 gru 2010, o 00:00

Tak, tam jest napewno powierzchnia boczna. Dziękuję za drugie zadanie. Chyba już dalej wiem jak je zrobić.

anna_ · Post autor: **anna_** » 12 gru 2010, o 00:10

Wydaje mi się, że w tym pierwszym powinna być powierzchnia całkowita (tzn z jedną podstawą) inaczej to chyba sensu nie ma.

wilk28 · Post autor: **wilk28** » 13 gru 2010, o 14:58

Dowiedziałem się i tam faktycznie powinna być powierzchnia całkowita.

anna_ · Post autor: **anna_** » 13 gru 2010, o 15:09

1.
\(\displaystyle{ a}\) - krawędź podstawy
\(\displaystyle{ h}\) - krawędź boczna
\(\displaystyle{ P}\) - powierzchnia całkowita (bez przykrywki)
\(\displaystyle{ a,h>0}\)

\(\displaystyle{ P=4ah+a^2 \Rightarrow h= \frac{P-a^2}{4a}}\)

\(\displaystyle{ V(a)=a^2h=a^2 \cdot \frac{P-a^2}{4a}= -\frac{1}{4}a^3+ \frac{P}{4}a}\)

Teraz szukasz tej wartości \(\displaystyle{ a}\), dla ktorej funkcja \(\displaystyle{ V(a)}\) przyjmuje wartość największą. Potem liczysz \(\displaystyle{ h}\)