Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny o wysokości 10. Promień okręgu opisanego na jego podstawie jest równy 6. Oblicz pole pow. całkowite.
Proszę o pomoc w tym zadaniu.
Graniastosłup prawidłowy czworokątny
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Graniastosłup prawidłowy czworokątny
1. Wystarczy wyznaczyć długość \(\displaystyle{ a}\) krawędzi podstawy graniastosłupa. Ponieważ każda z podstaw jest kwadratem, to promień okręgu opisanego na niej jest równy połowie przekątnej tego kwadratu. Stąd i ze wzoru na przekątną kwadratu mamy \(\displaystyle{ 6=\frac{1}{2}a\sqrt{2}}\), tj. \(\displaystyle{ a=6\sqrt{2}}\).
2. Zauważ, że przekątna graniastosłupa wraz z krawędzią \(\displaystyle{ a}\) podstawy i przekątną \(\displaystyle{ b}\) ściany bocznej (wychodzących z dwu różnych końców przekątnej \(\displaystyle{ d}\)) tworzą trójkąt prostokątny. Stąd i z definicji kosinusa kąta ostrego mamy \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{a}{d}}\), więc \(\displaystyle{ a=d\cos\alpha}\). Podobnie z definicji sinusa kąta ostrego (i jedynki trygonometrycznej) mamy \(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{b}{d}}\), tj. \(\displaystyle{ b=d\sin\alpha=d\sqrt{1-\cos^2\alpha}}\).
(Po wyznaczeniu \(\displaystyle{ a}\) można do znalezienia \(\displaystyle{ b}\) wykorzystać także twierdzenie Pitagorasa: \(\displaystyle{ b=\sqrt{d^2-a^2}}\).)
Co więcej, przekątna \(\displaystyle{ b}\) dzieli ścianę boczną graniastosłupa na dwa (przystające) trójkąty prostokątne. Zatem z twierdzenia Pitagorasa możemy teraz znaleźć długość \(\displaystyle{ h}\) wysokości graniastosłupa: \(\displaystyle{ h=\sqrt{b^2-a^2}}\).
2. Zauważ, że przekątna graniastosłupa wraz z krawędzią \(\displaystyle{ a}\) podstawy i przekątną \(\displaystyle{ b}\) ściany bocznej (wychodzących z dwu różnych końców przekątnej \(\displaystyle{ d}\)) tworzą trójkąt prostokątny. Stąd i z definicji kosinusa kąta ostrego mamy \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{a}{d}}\), więc \(\displaystyle{ a=d\cos\alpha}\). Podobnie z definicji sinusa kąta ostrego (i jedynki trygonometrycznej) mamy \(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{b}{d}}\), tj. \(\displaystyle{ b=d\sin\alpha=d\sqrt{1-\cos^2\alpha}}\).
(Po wyznaczeniu \(\displaystyle{ a}\) można do znalezienia \(\displaystyle{ b}\) wykorzystać także twierdzenie Pitagorasa: \(\displaystyle{ b=\sqrt{d^2-a^2}}\).)
Co więcej, przekątna \(\displaystyle{ b}\) dzieli ścianę boczną graniastosłupa na dwa (przystające) trójkąty prostokątne. Zatem z twierdzenia Pitagorasa możemy teraz znaleźć długość \(\displaystyle{ h}\) wysokości graniastosłupa: \(\displaystyle{ h=\sqrt{b^2-a^2}}\).