Objętość czworościanu.

[thor213]

Oblicz objętość czworościanu o podanych krawędziach \(\displaystyle{ a, b, c, d, e, f}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) są krawędziami podstawy.

Policzyłem pole podstawy i nie mam pojęcia jak (oraz czy muszę) wyznaczyć wysokość...

[Pancernik]

Oznaczenia:
\(\displaystyle{ a}\) - krawędzie
\(\displaystyle{ P_p}\) - pole podstawy
\(\displaystyle{ h_p}\) - wysokość podstawy
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość czworościanu
\(\displaystyle{ V}\) - objętość czworościanu

Jeżeli jest to czworościan to wszystkie krawędzie są równej długości. Czyli:
\(\displaystyle{ P_p= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \\
h_p= \frac{a \sqrt{3} }{2}\\
H= \sqrt{a^2- \left( \frac{2}{3}h_p\right)^2 }= \sqrt{a^2- \frac{4}{9} \cdot \frac{3 }{4}a^2}= \sqrt{a^2- \frac{1}{3}a^2 } = \sqrt{ \frac{2}{3} a^2} = \frac{ \sqrt{6} }{3} a\\
V= \frac{1}{3} P_p \cdot H= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot \frac{ \sqrt{6} }{3} a= \frac{ \sqrt{18} }{36} a^3= \frac{ \sqrt{2} }{12} a^3}\)

[Ponewor]

Odświeżam i proszę o poważne rozwiązanie.

[piasek101]

Jeżeli jest to czworościan to wszystkie krawędzie są równej długości. Czyli:

Większość czworościanów ma różne długości krawędzi.

[Pancernik]

A no faktycznie. 2 lata temu widocznie myślałem, że czworościan jest tak jak sześcian, czyli foremny -- 17 lis 2012, o 00:02 --Niech krawędzie \(\displaystyle{ a,b,d}\) łączą się w jednym wierzchołku, tak samo krawędzie \(\displaystyle{ b,c,e}\) i krawędzie \(\displaystyle{ a,c,f}\). Wtedy

\(\displaystyle{ V= \sqrt{ \frac{A}{288} }}\)

gdzie \(\displaystyle{ A}\), to wyznacznik macierzy

\(\displaystyle{ A=\begin{vmatrix} 0&c^2&b^2&e^2&1\\c^2&0&a^2&e^2&1\\b^2&a^2&0&d^2&1\\e^2&f^2&d^2&0&1\\1&1&1&1&0\end{vmatrix}}\)