kula i stozek
-
bullay
- Użytkownik
- Posty: 236
- Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: -----
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 26 razy
kula i stozek
W kulę o promieniu \(\displaystyle{ R}\) wpisano stożek obrotowy. Dla jakiego promienia \(\displaystyle{ r}\) podstawy stożka objętość stożka jest największa?
-
florek177
- Użytkownik
- Posty: 3018
- Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 322 razy
kula i stozek
Wysokość stożka: \(\displaystyle{ h = R+x}\) ; gdzie \(\displaystyle{ x = \sqrt{R^{2}-r^{2}}}\).
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}{\pi}r^{2}h}\); -- podstawiamy do wzoru, liczymy pochodną:
\(\displaystyle{ V'=[\frac{1}{3}{\pi}r^{2}(R+\sqrt{R^{2}-r^{2}})]' = ...=\frac{1}{3}{\pi}r[2(R+\sqrt{R^{2}-r^{2}})-\frac{r^2}{\sqrt{R^{2}-r^{2}}}]=0}\)
\(\displaystyle{ 2(R+\sqrt{R^{2}-r^{2}})-\frac{r^2}{\sqrt{R^{2}-r^{2}}}=0}\) ; \(\displaystyle{ r=\frac{2}{3}\sqrt{2}}R}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}{\pi}r^{2}h}\); -- podstawiamy do wzoru, liczymy pochodną:
\(\displaystyle{ V'=[\frac{1}{3}{\pi}r^{2}(R+\sqrt{R^{2}-r^{2}})]' = ...=\frac{1}{3}{\pi}r[2(R+\sqrt{R^{2}-r^{2}})-\frac{r^2}{\sqrt{R^{2}-r^{2}}}]=0}\)
\(\displaystyle{ 2(R+\sqrt{R^{2}-r^{2}})-\frac{r^2}{\sqrt{R^{2}-r^{2}}}=0}\) ; \(\displaystyle{ r=\frac{2}{3}\sqrt{2}}R}\)