ostrosłup prawidłowy trójkątny

Trruskawka92 · Post autor: **Trruskawka92** » 30 lis 2010, o 16:25

Bardzo proszę o pomoc z zadaniem:

w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ściana boczna tworzy z podstawą kąt o mierze 60stopni. Promień okręgu opisanego na podstawie ma długość 10. oblicz długość krawędzi bocznej ostrosłupa.

Z góry dziękuję!

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 30 lis 2010, o 17:56

Gdzie w tym ostrosłupie jest dany kąt? Między którymi odcinkami? (mogą być w pierwszej chwili niewidoczne, może trzeba je zaznaczyć na odpowiednim rysunku bryły )

Trruskawka92 · Post autor: **Trruskawka92** » 30 lis 2010, o 18:12

kąt jest dany między wysokością ściany bocznej a jej rzutem na podstawę?

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 30 lis 2010, o 18:19

Dokładnie tak. A ten jej rzut na podstawę to promień okręgu wpisanego w podstawę (o długości połowy promienia okręgu opisanego na podstawie - wynika to z własności trójkąta równobocznego).

Trruskawka92 · Post autor: **Trruskawka92** » 30 lis 2010, o 18:26

więc mogę wykorzystać do tego twierdzenie sinusów?

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 30 lis 2010, o 18:30

Nie bardzo. Kąt 60 stopni leży przy boku długości promienia okręgu wpisanego w podstawę, a nie naprzeciw tego boku. Zauważ jednak, że trójkąt powstały z wysokości ściany bocznej, promienia okręgu wpisanego w podstawę oraz wysokości ostrosłupa jest trójkątem prostokątnym. W każdym ostrosłupie prostym (w szczególności w prawidłowym) wysokość jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, więc tym bardziej do dowolnego odcinka zawartego w podstawie.

Trruskawka92 · Post autor: **Trruskawka92** » 30 lis 2010, o 18:36

No to ja już nie mam pojęcia jak zrobić to zadanie ;/

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 30 lis 2010, o 18:39

Skoro dany kąt jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym, to można wykorzystać definicję jednej z funkcji trygonometrycznych tego kąta. Proponuję definicję kosinusa.

Trruskawka92 · Post autor: **Trruskawka92** » 30 lis 2010, o 18:43

no to obliczyłam z tego wysokość ściany bocznej i wysokość ostrosłupa

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 30 lis 2010, o 18:52

Wystarczy wysokość ściany bocznej. Spójrz teraz na ścianę boczną. Jest ona trójkątem równoramiennym - obliczyłaś wysokość w tym trójkącie (opuszczoną do podstawy), oblicz jeszcze połowę długości krawędzi podstawy (np. z danej długości promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa). Wystarczy wówczas skorzystać z twierdzenia Pitagorasa (połowa ściany bocznej jest trójkątem prostokątnym).

Trruskawka92 · Post autor: **Trruskawka92** » 30 lis 2010, o 19:08

A w jaki sposób mogę obliczyć tę połowę długości krawędzi podstawy?

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 30 lis 2010, o 19:12

Jeśli przez \(\displaystyle{ a}\) oznaczyć krawędź podstawy ostrosłupa, to promień okręgu opisanego na podstawie (trójkącie równobocznym) ma długość \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{3}}\). Stąd i z założenia jest \(\displaystyle{ a=10\sqrt{3}}\).

Trruskawka92 · Post autor: **Trruskawka92** » 30 lis 2010, o 19:17

Dziękuję bardzo za cierpliwość i pomoc. Wyszło mi:)