Witam. Mam problem z dwoma zadaniami ze stereometrii: byłabym wdzięczna za pomoc w rozwiązaniu lub jakieś wskazówki, muszę je rozwiązać do wieczora.
1) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o wysokości długości h ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze alfa. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
2) Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy długości a i mierze między ścianami bocznymi 2alfa.
Geometria przestrzenna- wielościany
-
alfgordon
- Użytkownik
- Posty: 2176
- Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 379 razy
Geometria przestrzenna- wielościany
2)
a-bok podstawy,
l- krawędź ostrosłupa,
x- mniejsza wysokość ściany bocznej ( pomiędzy tymi dwoma wysokościami znajduje się kąt 2 alfa)
h- wysokość ściany bocznej (opuszczona na podstawe)
H- wysokość ostrosłupa
z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ a^2=2x^2 -2x^2 \cdot cos(2 \alpha)}\)
\(\displaystyle{ a^2= 2x^2 (1- cos(2 \alpha))}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{1-cos(2 \alpha)}=2x^2}\)
\(\displaystyle{ (cos(2 \alpha)=(cos(\alpha) )^2 -(sin(\alpha))^2)}\) - przypomnienie
\(\displaystyle{ x= \frac{a}{2sin(\alpha)}}\)
i teraz z pola ściany bocznej:
\(\displaystyle{ l \cdot x=h \cdot a}\)
\(\displaystyle{ l = 2hsin(\alpha)}\)
i teraz najgorsze... (jeżeli dotąd było dobrze), nie mogłem wymyślić łatwiejszy sposób wyliczenia wysokości ostrosłupa, jak taki układ równań
(nie jestem pewny gdzie wysokość ostrosłupa spada na podstawę, więc to sobie sprawdź dokładnie),
\(\displaystyle{ \begin{cases} H^2 + ( \frac{a \sqrt{3} }{3})^2 = h^2 \\ H^2 + (\frac{a \sqrt{3} }{6} )^2 = l^2 \end{cases} \wedge l = 2hsin(\alpha)}\)
a-bok podstawy,
l- krawędź ostrosłupa,
x- mniejsza wysokość ściany bocznej ( pomiędzy tymi dwoma wysokościami znajduje się kąt 2 alfa)
h- wysokość ściany bocznej (opuszczona na podstawe)
H- wysokość ostrosłupa
z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ a^2=2x^2 -2x^2 \cdot cos(2 \alpha)}\)
\(\displaystyle{ a^2= 2x^2 (1- cos(2 \alpha))}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{1-cos(2 \alpha)}=2x^2}\)
\(\displaystyle{ (cos(2 \alpha)=(cos(\alpha) )^2 -(sin(\alpha))^2)}\) - przypomnienie
\(\displaystyle{ x= \frac{a}{2sin(\alpha)}}\)
i teraz z pola ściany bocznej:
\(\displaystyle{ l \cdot x=h \cdot a}\)
\(\displaystyle{ l = 2hsin(\alpha)}\)
i teraz najgorsze... (jeżeli dotąd było dobrze), nie mogłem wymyślić łatwiejszy sposób wyliczenia wysokości ostrosłupa, jak taki układ równań
(nie jestem pewny gdzie wysokość ostrosłupa spada na podstawę, więc to sobie sprawdź dokładnie),
\(\displaystyle{ \begin{cases} H^2 + ( \frac{a \sqrt{3} }{3})^2 = h^2 \\ H^2 + (\frac{a \sqrt{3} }{6} )^2 = l^2 \end{cases} \wedge l = 2hsin(\alpha)}\)