Ostrosłup prawidłowy trójkątny
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędziach bocznych trzy razy dłuższych od krawędzi podstawy. Oblicz stosunek wysokości ostrosłupa do krawędzi jego podstawy
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
Niech \(\displaystyle{ a, h}\) oznacza długość krawędzi podstawy i długość wysokości ostrosłupa odpowiednio. Rozważ trójkąt, którego bokami są wysokość \(\displaystyle{ h}\), krawędź boczna (w myśl założenia jest ona długości \(\displaystyle{ 3a}\)) oraz promień okręgu opisanego na podstawie (odcinek łączący spodek wysokości ostrosłupa z wierzchołkiem jego podstawy- ma on długość \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{3}}\)). Trójkąt ten jest prostokątny, gdyż ostrosłup jest prosty (jako prawidłowy). Z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ (3a)^2=(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2+h^2}\), skąd \(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt{78}}{3}}\). Szukany stosunek to zatem \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{78}}{3}}\).