Ostrosłup prawidłowy trójkątny

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
katrrin18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 81
Rejestracja: 9 lis 2009, o 20:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Ostrosłup prawidłowy trójkątny

Post autor: katrrin18 »

dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędziach bocznych trzy razy dłuższych od krawędzi podstawy. Oblicz stosunek wysokości ostrosłupa do krawędzi jego podstawy
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Ostrosłup prawidłowy trójkątny

Post autor: lukasz1804 »

Niech \(\displaystyle{ a, h}\) oznacza długość krawędzi podstawy i długość wysokości ostrosłupa odpowiednio. Rozważ trójkąt, którego bokami są wysokość \(\displaystyle{ h}\), krawędź boczna (w myśl założenia jest ona długości \(\displaystyle{ 3a}\)) oraz promień okręgu opisanego na podstawie (odcinek łączący spodek wysokości ostrosłupa z wierzchołkiem jego podstawy- ma on długość \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{3}}\)). Trójkąt ten jest prostokątny, gdyż ostrosłup jest prosty (jako prawidłowy). Z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ (3a)^2=(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2+h^2}\), skąd \(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt{78}}{3}}\). Szukany stosunek to zatem \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{78}}{3}}\).
ODPOWIEDZ