Oblicz V graniastosłupa
Oblicz V graniastosłupa
W czworokątnym prawidłowym graniastosłupie krawędź podstawy ma długość \(\displaystyle{ a}\). Zaś kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych jest równy \(\displaystyle{ \alpha}\) . Oblicz \(\displaystyle{ V}\) graniastosłupa?
-
Pancernik
- Użytkownik
- Posty: 634
- Rejestracja: 3 mar 2009, o 14:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 143 razy
Oblicz V graniastosłupa
\(\displaystyle{ d}\) - przekątna podstawy
\(\displaystyle{ c}\) - przekątna ściany bocznej
Trójkąt, który powstaje z kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) jego ramionami jest \(\displaystyle{ c}\), a podstawą \(\displaystyle{ d}\).
\(\displaystyle{ d=a \sqrt{2}}\)
Teraz z wierzchołka tego trójkąta przy, którym jest kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) opuszczamy wysokość i powstają dwa trójkąty prostokątne.
\(\displaystyle{ \sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{ \frac{d}{2} }{c} \\
\sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{ a\sqrt{2} }{2c} \\
c= \frac{a \sqrt{2} }{2\sin \frac{ \alpha }{2} } \\
H^2=c^2-a^2=\left( \frac{a \sqrt{2} }{2\sin \frac{ \alpha }{2} }\right) ^2-a^2=a^2\left(\frac{1 }{2\sin \frac{ \alpha }{2} } -1\right) \\
V=P_pH=a^2 \cdot a^2\left(\frac{1 }{2\sin \frac{ \alpha }{2} } -1\right)=a^4\left(\frac{1 }{2\sin \frac{ \alpha }{2} } -1\right)}\)
\(\displaystyle{ c}\) - przekątna ściany bocznej
Trójkąt, który powstaje z kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) jego ramionami jest \(\displaystyle{ c}\), a podstawą \(\displaystyle{ d}\).
\(\displaystyle{ d=a \sqrt{2}}\)
Teraz z wierzchołka tego trójkąta przy, którym jest kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) opuszczamy wysokość i powstają dwa trójkąty prostokątne.
\(\displaystyle{ \sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{ \frac{d}{2} }{c} \\
\sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{ a\sqrt{2} }{2c} \\
c= \frac{a \sqrt{2} }{2\sin \frac{ \alpha }{2} } \\
H^2=c^2-a^2=\left( \frac{a \sqrt{2} }{2\sin \frac{ \alpha }{2} }\right) ^2-a^2=a^2\left(\frac{1 }{2\sin \frac{ \alpha }{2} } -1\right) \\
V=P_pH=a^2 \cdot a^2\left(\frac{1 }{2\sin \frac{ \alpha }{2} } -1\right)=a^4\left(\frac{1 }{2\sin \frac{ \alpha }{2} } -1\right)}\)