Stosunek pół powierzchni kuli i sześcianu

[dajjan1425]

Wyznacz stosunek pól powierzchni kuli i sześcianu, jeżeli wiadomo, że obie bryły mają równe objętości.

[M Ciesielski]

Mamy:

\(\displaystyle{ V_s = a^3 \\ V_k = \frac{4}{3} \pi r^3}\)

oraz

\(\displaystyle{ P_s = 6a^2 \\ P_k = 4\pi r^2}\)

Objętości są równe, więc \(\displaystyle{ a^3 = \frac{4}{3} \pi r^3}\)

Dzięki temu mamy znaleźć wartość \(\displaystyle{ \frac{4 \pi r^2}{6a^2} = \frac{2 \pi r^2}{3a^2}}\).

No to jedziemy:

\(\displaystyle{ a^3 = \frac{4}{3} \pi r^3 \\ \frac{3}{4 \pi} = \frac{r^3}{a^3} \\ \left( \frac{3}{4 \pi} \right)^{\frac{2}{3}} = \frac{r^2}{a^2}}\)

Dalej już prosto, pomnóż stronami przez \(\displaystyle{ \frac{2 \pi}{3}}\) a otrzymasz żądany stosunek.