Ostrosłup prosty

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
katrrin18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 81
Rejestracja: 9 lis 2009, o 20:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Ostrosłup prosty

Post autor: katrrin18 »

Podstawą ostrosłupa prostego jest trójkąt prostokątny równoramienny, którego ramię ma długość \(\displaystyle{ 6 \sqrt{2} cm}\). Wiedząc że wysokość ostrosłupa jest równa \(\displaystyle{ 8cm}\) oblicz:
a) długość krawędzi bocznych
b) pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa
advx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 6 lis 2010, o 11:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nysa

Ostrosłup prosty

Post autor: advx »

AU
AU
23247918683042952489.jpg (5.52 KiB) Przejrzano 977 razy
a = ramię podstawy
b = przeciwprostokątna krawędź podstawy
c = krawędź boczna
d = wysokość ściany której krawędzią jest przeciwprostokątna podstawy
e = wysokość ściany której krawędzią jest ramię podstawy
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}b ^{2} = (6 \sqrt{2}) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ b = 12}\)
\(\displaystyle{ h = 1/2b = 6}\)
\(\displaystyle{ (1/2h) ^{2} + H ^{2} = d ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 9 + 144 = d ^{2}}\)
\(\displaystyle{ d = 3 \sqrt{17}}\)
\(\displaystyle{ d ^{2} + (1/2b) ^{2} = c ^{2}}\)
\(\displaystyle{ c = 3 \sqrt{21}}\)
a.) krawędź boczna \(\displaystyle{ = 3 \sqrt{21}}\)
\(\displaystyle{ (1/2) ^{2} +e ^{2} = c ^{2}}\)
\(\displaystyle{ (3 \sqrt{2}) ^{2} + e ^{2} = c ^{2}}\)
\(\displaystyle{ e = 3 \sqrt{19}}\)
\(\displaystyle{ Pb = (1/2b \cdot d ) + a \cdot e}\)
\(\displaystyle{ Pb = 18 \sqrt{17} + 15 \sqrt{19}}\)
b.) Pole boczne ostrosłupa\(\displaystyle{ = 18 \sqrt{17} + 15 \sqrt{19}}\)
Hann
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 22 gru 2011, o 15:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kicin/Poznań

Ostrosłup prosty

Post autor: Hann »

Mam identyczne zadanie w książce i według moich obliczeń, zgodnych zresztą z odpowiedziami, wynik wychodzi inny:

Wiemy, że podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny prostokątny o ramieniu długości \(\displaystyle{ 6 \sqrt{2}}\) i przeciwprostokątnej długości \(\displaystyle{ x}\)

Z Pitagorasa wyliczamy, że, tak jak napisał kolega \(\displaystyle{ x=12}\)

Chcąc obliczyć ramię ostrosłupa skorzystajmy z trójkąta utworzonego przez wysokość ostrosłupa (która w przypadku ostrosłupa z trójkątem prostokątnym w podstawie opada na środek przeciwprostokątnej, a więc jest jednocześnie wysokością jednej ze ścian!), połowę przeciwprostokątnej oraz krawędź ostrosłupa.

Mamy więc do czynienia z trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych długości \(\displaystyle{ 8cm}\) i \(\displaystyle{ 6cm}\) oraz przeciwprostokątnej (szukana krawędź) długości \(\displaystyle{ y}\)

ponownie korzystając z Pitagorasa, obliczamy, że

\(\displaystyle{ 8 ^{2} + 6^{2} = y^{2}

64 + 36 = y^{2}}\)

więc
\(\displaystyle{ y = 10}\)

Mamy rozwiązaną pierwszą cześć.

Zajmujemy się teraz obliczaniem \(\displaystyle{ P _{b}}\)

Dwie ze ścian to trójkąty o wymiarach \(\displaystyle{ 10 x 10 x 6 \sqrt{2}}\)
Potrzebna nam wysokość, którą obliczamy również z Pitagorasa:

\(\displaystyle{ (3\sqrt{2})^{2} + h^{2} = 100

18 + h^{2} = 100

h = \sqrt{82}}\)


Pole jednej z tych ścian wynosi więc:

\(\displaystyle{ P = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{82}

P = 3 \cdot \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 41}

P = 6\sqrt{41}}\)


Pole trzeciej ściany to 48cm (\(\displaystyle{ 6 \cdot 8}\)) więc

\(\displaystyle{ P_{b} = 12\sqrt{41} + 48

P_{b} = 12(4 + \sqrt{41)}\)
ODPOWIEDZ