Podstawą ostrosłupa prostego jest trójkąt prostokątny równoramienny, którego ramię ma długość \(\displaystyle{ 6 \sqrt{2} cm}\). Wiedząc że wysokość ostrosłupa jest równa \(\displaystyle{ 8cm}\) oblicz:
a) długość krawędzi bocznych
b) pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa
Ostrosłup prosty
Ostrosłup prosty
b = przeciwprostokątna krawędź podstawy
c = krawędź boczna
d = wysokość ściany której krawędzią jest przeciwprostokątna podstawy
e = wysokość ściany której krawędzią jest ramię podstawy
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}b ^{2} = (6 \sqrt{2}) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ b = 12}\)
\(\displaystyle{ h = 1/2b = 6}\)
\(\displaystyle{ (1/2h) ^{2} + H ^{2} = d ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 9 + 144 = d ^{2}}\)
\(\displaystyle{ d = 3 \sqrt{17}}\)
\(\displaystyle{ d ^{2} + (1/2b) ^{2} = c ^{2}}\)
\(\displaystyle{ c = 3 \sqrt{21}}\)
a.) krawędź boczna \(\displaystyle{ = 3 \sqrt{21}}\)
\(\displaystyle{ (1/2) ^{2} +e ^{2} = c ^{2}}\)
\(\displaystyle{ (3 \sqrt{2}) ^{2} + e ^{2} = c ^{2}}\)
\(\displaystyle{ e = 3 \sqrt{19}}\)
\(\displaystyle{ Pb = (1/2b \cdot d ) + a \cdot e}\)
\(\displaystyle{ Pb = 18 \sqrt{17} + 15 \sqrt{19}}\)
b.) Pole boczne ostrosłupa\(\displaystyle{ = 18 \sqrt{17} + 15 \sqrt{19}}\)
Ostrosłup prosty
Mam identyczne zadanie w książce i według moich obliczeń, zgodnych zresztą z odpowiedziami, wynik wychodzi inny:
Wiemy, że podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny prostokątny o ramieniu długości \(\displaystyle{ 6 \sqrt{2}}\) i przeciwprostokątnej długości \(\displaystyle{ x}\)
Z Pitagorasa wyliczamy, że, tak jak napisał kolega \(\displaystyle{ x=12}\)
Chcąc obliczyć ramię ostrosłupa skorzystajmy z trójkąta utworzonego przez wysokość ostrosłupa (która w przypadku ostrosłupa z trójkątem prostokątnym w podstawie opada na środek przeciwprostokątnej, a więc jest jednocześnie wysokością jednej ze ścian!), połowę przeciwprostokątnej oraz krawędź ostrosłupa.
Mamy więc do czynienia z trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych długości \(\displaystyle{ 8cm}\) i \(\displaystyle{ 6cm}\) oraz przeciwprostokątnej (szukana krawędź) długości \(\displaystyle{ y}\)
ponownie korzystając z Pitagorasa, obliczamy, że
\(\displaystyle{ 8 ^{2} + 6^{2} = y^{2}
64 + 36 = y^{2}}\)
więc
\(\displaystyle{ y = 10}\)
Mamy rozwiązaną pierwszą cześć.
Zajmujemy się teraz obliczaniem \(\displaystyle{ P _{b}}\)
Dwie ze ścian to trójkąty o wymiarach \(\displaystyle{ 10 x 10 x 6 \sqrt{2}}\)
Potrzebna nam wysokość, którą obliczamy również z Pitagorasa:
\(\displaystyle{ (3\sqrt{2})^{2} + h^{2} = 100
18 + h^{2} = 100
h = \sqrt{82}}\)
Pole jednej z tych ścian wynosi więc:
\(\displaystyle{ P = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{82}
P = 3 \cdot \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 41}
P = 6\sqrt{41}}\)
Pole trzeciej ściany to 48cm (\(\displaystyle{ 6 \cdot 8}\)) więc
\(\displaystyle{ P_{b} = 12\sqrt{41} + 48
P_{b} = 12(4 + \sqrt{41)}\)
Wiemy, że podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny prostokątny o ramieniu długości \(\displaystyle{ 6 \sqrt{2}}\) i przeciwprostokątnej długości \(\displaystyle{ x}\)
Z Pitagorasa wyliczamy, że, tak jak napisał kolega \(\displaystyle{ x=12}\)
Chcąc obliczyć ramię ostrosłupa skorzystajmy z trójkąta utworzonego przez wysokość ostrosłupa (która w przypadku ostrosłupa z trójkątem prostokątnym w podstawie opada na środek przeciwprostokątnej, a więc jest jednocześnie wysokością jednej ze ścian!), połowę przeciwprostokątnej oraz krawędź ostrosłupa.
Mamy więc do czynienia z trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych długości \(\displaystyle{ 8cm}\) i \(\displaystyle{ 6cm}\) oraz przeciwprostokątnej (szukana krawędź) długości \(\displaystyle{ y}\)
ponownie korzystając z Pitagorasa, obliczamy, że
\(\displaystyle{ 8 ^{2} + 6^{2} = y^{2}
64 + 36 = y^{2}}\)
więc
\(\displaystyle{ y = 10}\)
Mamy rozwiązaną pierwszą cześć.
Zajmujemy się teraz obliczaniem \(\displaystyle{ P _{b}}\)
Dwie ze ścian to trójkąty o wymiarach \(\displaystyle{ 10 x 10 x 6 \sqrt{2}}\)
Potrzebna nam wysokość, którą obliczamy również z Pitagorasa:
\(\displaystyle{ (3\sqrt{2})^{2} + h^{2} = 100
18 + h^{2} = 100
h = \sqrt{82}}\)
Pole jednej z tych ścian wynosi więc:
\(\displaystyle{ P = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{82}
P = 3 \cdot \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 41}
P = 6\sqrt{41}}\)
Pole trzeciej ściany to 48cm (\(\displaystyle{ 6 \cdot 8}\)) więc
\(\displaystyle{ P_{b} = 12\sqrt{41} + 48
P_{b} = 12(4 + \sqrt{41)}\)