Bryły obtowe stożek

krysztalowa1 · Post autor: **krysztalowa1** » 6 lis 2010, o 14:56

do naczynia w kształcie stozka nalano soku do połowy jego wysokości. jaka czesc objetosci calego naczynia jest pusta ?

błagam o pomoc .

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 6 lis 2010, o 17:03

Zerknij na przekrój, mamy tam trójkąt równoramienny ABC. Trójkąty ABC i EFC są podobne (dlaczego?). W jakiej skali? Znając skalę wyraź \(\displaystyle{ r_2}\) za pomocą \(\displaystyle{ r_1}\) (promień całego stożka).
Pozostaje policzyć objętość "pustego" oraz "całego" stożka (wyrażasz je za pomocą \(\displaystyle{ r_1}\) i \(\displaystyle{ H}\)) i podzielić obie wartości.

krysztalowa1 · Post autor: **krysztalowa1** » 6 lis 2010, o 17:09

Ale nie wychodzi mi to, a mozesz mi to rozwiązac ?

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 6 lis 2010, o 17:14

Rozwiązać nie, pomóc owszem. Co Ci nie wychodzi? Wzór na objętość znasz, potrzeba tam promień podstawy i wysokość stożka - oznaczmy \(\displaystyle{ r_1}\) i \(\displaystyle{ H}\). U góry naczynia mamy "pusty stożek" on też ma swój promień i swoją wysokość. Zauważ, że wysokość "pustego stożka" to połowa wysokości całego stożka (patrz treść zadania). Co z promieniem? Tu trzeba skorzystać z podobieństwa trójkątów... W jakiej skali trójkąty ABC i EFC są podobne?

krysztalowa1 · Post autor: **krysztalowa1** » 6 lis 2010, o 17:28

skala , \(\displaystyle{ k =2}\)

I nie wiem co dalej ;/

-- 6 lis 2010, o 17:30 --

A wzór na objętośc to : \(\displaystyle{ \frac{1}{3}P_p \cdot H}\)

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 6 lis 2010, o 17:38

Ok, czyli trójkąt równoramienny ABC jest dwa razy większy niż EFC (zauważ, że trójkąt prostokątny ADC też jest dwa razy większy niż trójkąt EGC). Zatem wysokość całego stożka to H, "pustego stożka" to połowa H. Promień podstawy całego stożka to r1 zaś "pustego" to...?

krysztalowa1 · Post autor: **krysztalowa1** » 6 lis 2010, o 20:40

r2? ja na serio nie kumam tego zadania ;/

jak zobacze obliczenia to wtedy skumam co z czego.

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 6 lis 2010, o 21:19

Tak, oznaczamy promień podstawy stożka pustego przez r2. Na podstawie podobieństwa trójkątów ile wynosi r2?

krysztalowa1 · Post autor: **krysztalowa1** » 6 lis 2010, o 21:21

tyle samo co \(\displaystyle{ r_1=r_2}\) tak ?

I co dalej ?

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 6 lis 2010, o 21:23

no nie, jaka była skala?

krysztalowa1 · Post autor: **krysztalowa1** » 6 lis 2010, o 21:29

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 6 lis 2010, o 21:32

zerknij na rysunek (trójkąty podobne ADC i EGC), skoro wysokość trójkąta ADC do EGC ma się jak 2:1 to r1 do r2 ma się jak...

krysztalowa1 · Post autor: **krysztalowa1** » 6 lis 2010, o 21:35

no tez 2:1

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 6 lis 2010, o 21:38

ok, oznaczmy:
\(\displaystyle{ H_1}\) - wysokość "całego stożka",
\(\displaystyle{ H_2}\) - wysokość "pustego stożka"
\(\displaystyle{ r_1}\) - promień podstawy "całego stożka",
\(\displaystyle{ r_2}\) - promień podstawy "pustego stożka"
już wiemy, że
\(\displaystyle{ H_2= \frac{1}{2} H_1}\)
oraz
\(\displaystyle{ r_2= \frac{1}{2} r_1}\)
policz teraz objętość pustego i całego, następnie podziel obie objętości

krysztalowa1 · Post autor: **krysztalowa1** » 6 lis 2010, o 21:42

ale mam liczyć, że \(\displaystyle{ h= \frac{a \sqrt{3} }{2}}\) ?