Oblicz pole powierzchni przekroju graniastosłupa.

[nkwd]

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCA'B'C' którego wszystkie krawędzie mają długość 2 cm, przecięto płaszczyzną zawierającą krawędź AB podstawy ABC oraz wierzchołek C' podstawy A'B'C'. Oblicz pole powierzchni otrzymanego przekroju oraz stosunek objętości brył, na jakie płaszczyzna ABC' podzieliła graniastosłup ABC'A'B'C'. Wykonaj rysunek graniastosłupa wraz z przekrojem.

[Vax]

Zauważ, że ścianami bocznymi są kwadraty, o boku długości 2. Przekrojem jest trójkąt równoramienny, o podstawie 2cm, i ramionach \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}cm^2}\) (przekątna kwadratu). Z Twierdzenia Pitagorasa możemy policzyć, że wysokość jest równa \(\displaystyle{ \sqrt{7}cm}\), tak więc pole przekroju wynosi \(\displaystyle{ \frac{2\cdot \sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}cm^2}\). W podstawie graniastosłupa leży trójkąt równoboczny, o boku 2cm, tak więc jego pole wynosi \(\displaystyle{ \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}cm^2}\). Objętość graniastosłupa wynosi \(\displaystyle{ V=P_p \cdot H}\). Wysokość mamy daną, wynosi ona 2cm, tak więc objętość całego graniastosłupa wynosi \(\displaystyle{ V_c=2\sqrt{3}cm^3}\). Przekrój dzieli figurę na ostrosłup i jakąś jeszcze. Zajmijmy się objętością ostrosłupa. Ma on w podstawie ten sam trójkąt równoboczny, oraz ma tą samą wysokość co graniastosłup, tak więc jego objętość jest równa \(\displaystyle{ V=\frac{P_p \cdot H}{3}}\) czyli \(\displaystyle{ V_1 = \frac{2\sqrt{3}}{3}}\). Aby obliczyć objętość drugiej figury, od objętości całego graniastosłupa odejmijmy objętość ostrosłupa:

\(\displaystyle{ V_2 = V_c-V_1}\)

\(\displaystyle{ V_2 = 2\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\)

\(\displaystyle{ V_2 = \frac{4\sqrt{3}}{3}}\)

Stosunek objętości tych 2 brył jest równy:

\(\displaystyle{ \frac{V_1}{V_2} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}}\)


Pozdrawiam.