1.Z koła o promieniu 4 cm wycięto kwadrat wpisany w koło.Oblicz objętość bryły powstałej przez
obrót otrzymanej figury wokół prostej zawierającej srodek koła i prostopadłej do boku kwadratu.
2.Przekątna przekroju osiowego walca tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 60stopni.Oblicz objetość i pole powierzchni całkowitej tego walca,jeżeli różnica długości przekątnej przekroju osiowego i średnicy podstawy walca jest równa 10 cm.
3.Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznie jest kwadratem o polu równym 100 cm (kwadratowych).Oblicz V i pole powierzchni całkowitej walca.
Prosze o pomoc..
objętość i pole
-
Pancernik
- Użytkownik
- Posty: 634
- Rejestracja: 3 mar 2009, o 14:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 143 razy
objętość i pole
1.
\(\displaystyle{ V_f}\) - objętość figury
\(\displaystyle{ V_k}\) - objętość kuli
\(\displaystyle{ V_w}\) - objętość walca
\(\displaystyle{ V_f = V_k - V_w\\
V_f = \frac{4}{3} \pi R^3 - \pi r^2 H}\)
\(\displaystyle{ H=2r\\
\sqrt{2H^2} = 8\\
2H^2=64\\
H^2=32\\
H=4 \sqrt{2}\\
r=2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ V_f = \frac{4}{3} \pi \cdot 4^3 - \pi \left(2 \sqrt{2} \right) ^2 \cdot 4 \sqrt{2}\\
V_f = \frac{256}{3} \pi - 32\pi \sqrt{2}\\
V_f = 32\pi \left( \frac{8}{3} - \sqrt{2}\right)}\)
2.
\(\displaystyle{ d}\) - średnica podstawy
\(\displaystyle{ e}\) - przekątna walca
\(\displaystyle{ e-d=10\\
e=10+d}\)
z trójkąta równobocznego
\(\displaystyle{ 2d=e\\
2d = 10 +d\\
d=10\\
e=20}\)
\(\displaystyle{ H}\) otrzymamy z wzoru na wysokość trójkąta równobocznego
\(\displaystyle{ H = \frac{a \sqrt{3} }{2}=\frac{20 \sqrt{3} }{2}=10 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ 2r = d \Rightarrow r=5}\)
\(\displaystyle{ V_w = \pi r^2 H = 25\pi \cdot 10 \sqrt{3} =250\pi \sqrt{3} \\
P_w = 2\pi r^2 + 2\pi rH = 50\pi + 100\pi \sqrt{3}}\)
3.
\(\displaystyle{ P_b = 100 \Rightarrow H = 10 \wedge 2\pi r = 10 \Rightarrow r= \frac{5}{\pi}}\)
\(\displaystyle{ V_w = \pi r^2H = \pi \cdot \frac{25}{\pi ^2} \cdot 10 = \frac{250}{\pi} \\
P_w = 2\pi r^2 + 2\pi rH =\frac{50}{\pi} +100}\)
\(\displaystyle{ V_f}\) - objętość figury
\(\displaystyle{ V_k}\) - objętość kuli
\(\displaystyle{ V_w}\) - objętość walca
\(\displaystyle{ V_f = V_k - V_w\\
V_f = \frac{4}{3} \pi R^3 - \pi r^2 H}\)
\(\displaystyle{ H=2r\\
\sqrt{2H^2} = 8\\
2H^2=64\\
H^2=32\\
H=4 \sqrt{2}\\
r=2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ V_f = \frac{4}{3} \pi \cdot 4^3 - \pi \left(2 \sqrt{2} \right) ^2 \cdot 4 \sqrt{2}\\
V_f = \frac{256}{3} \pi - 32\pi \sqrt{2}\\
V_f = 32\pi \left( \frac{8}{3} - \sqrt{2}\right)}\)
2.
\(\displaystyle{ d}\) - średnica podstawy
\(\displaystyle{ e}\) - przekątna walca
\(\displaystyle{ e-d=10\\
e=10+d}\)
z trójkąta równobocznego
\(\displaystyle{ 2d=e\\
2d = 10 +d\\
d=10\\
e=20}\)
\(\displaystyle{ H}\) otrzymamy z wzoru na wysokość trójkąta równobocznego
\(\displaystyle{ H = \frac{a \sqrt{3} }{2}=\frac{20 \sqrt{3} }{2}=10 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ 2r = d \Rightarrow r=5}\)
\(\displaystyle{ V_w = \pi r^2 H = 25\pi \cdot 10 \sqrt{3} =250\pi \sqrt{3} \\
P_w = 2\pi r^2 + 2\pi rH = 50\pi + 100\pi \sqrt{3}}\)
3.
\(\displaystyle{ P_b = 100 \Rightarrow H = 10 \wedge 2\pi r = 10 \Rightarrow r= \frac{5}{\pi}}\)
\(\displaystyle{ V_w = \pi r^2H = \pi \cdot \frac{25}{\pi ^2} \cdot 10 = \frac{250}{\pi} \\
P_w = 2\pi r^2 + 2\pi rH =\frac{50}{\pi} +100}\)