Oblicz cosinus kąta rozwarcia stożka

[pitut]

Mam w czwartek sprawdziań ze stereometri i borykam się z dwoma zadaniami z powtórzenia.

1. Promień podstawy strożka jest 2 razy dluzszy od promienia kuli wpisanej w ten stożek. Oblicz cosinus kąta rozwarcia stożka.
(odp to \(\displaystyle{ \frac{7}{25}}\))

2. W kulę o promieniu R wpisano stożek o wysokości H, gdzie H > R. Wyznacz cosinus kąta rozwarcia stożka.
(odp to \(\displaystyle{ \frac{H-R}{R}}\))

Nie potrafie rozwiązywać zadań na literach, jednak w tym pierwszym widzę że literki sie musialy poskracać jakoś, czyli trzeba to jakoś łądnie zapisać jednak nie wychodzi mi nic ciekawego.

Proszę o pomoc

[florek177]

\(\displaystyle{ cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{h}{l}}\);

\(\displaystyle{ \frac{h - r}{r} = \frac{l}{2r} \,\,\, \rightarrow 2 \frac{h}{l} = 1 + \frac{2r}{l} \,\,\, \rightarrow 2 cos(\frac{\alpha}{2}) = 1 - sin(\frac{\alpha}{2})}\);

uwzględniasz jedynkę tryg. i po przekształceniach masz: \(\displaystyle{ 5 cos^{2}(\frac{\alpha}{2}) - 4cos(\frac{\alpha}{2}) = 0}\)

co po uwzględnieniu wzoru na \(\displaystyle{ cos(2\alpha)}\) prowadzi do rozwiazanie.

drugie analogicznie.

[pitut]

Dziękuje, tylko że zastanawia mnie to

\(\displaystyle{ \frac{h - r}{r} = \frac{l}{2r}}\)

gdyż ja tam szukałem jakiś zależności i to mi raczej nie wyszlo.. jak juz to

\(\displaystyle{ \frac{h - r}{r} = \frac{h}{2r}}\)

bo jak zrobię l to nie zgadza sie ani z podobienstwem ani z talesem? chyba ze jestem niedoinformowany ale sprawdzam t oteraz w googlach i nie potrafie znalesc takiej zaleznosci.
Może narysowac jakis rysunek pomocniczy?

[florek177]

w podobieństwie trójkątów porównujemy podobne boki: przeciwprostokątne ( h-r ; l ), krótsze przyprostokątne ( r, 2r ) dłuższe przyprostokątne ( kawałek l , h ).

Jeżeli w jednym trójkącie, przyrównujesz przeciwprostokątną do krótszej przyprostokątnej, to w drugim trójkącie musisz zrobić tak samo.

wszystko jest OK.

[qiotrek]

Jakoś nie mogę zrozumieć skąd się to bierze.
Skoro z zadania wiemy że:
r = 2R
pozwoliłem sobie zrobić prowizoryczny rysunek i jakoś nie widzę tu podobnych trójkątów.


mógłby mi ktoś to wytłumaczyć a najlepiej narysować to ??
Z góry dzięki

[anna_]

AU

364fb4a461d7cdc2.png (15.27 KiB) Przejrzano 345 razy

[/url]

Trójkąt \(\displaystyle{ OFC}\) jest podobny do trójkąta \(\displaystyle{ DBC}\)

[qiotrek]

Dzięki wielkie.

[okulista]

A ja wpadłem na pomysł żeby zrobić to zadanko z tw cosinusów i coś mi ni wychodzi.

Trójkąt w który ma być wpisany okrąg jest trójkątem równoramiennym o podstawie 4r . Żeby wylicz ramię tego trójkąta potrzebuje wysokość żeby użyć pitagorasa.

Zatem \(\displaystyle{ k= \frac{r _{stozka} }{r _{kuli} } = 2}\)


\(\displaystyle{ k ^{3} =\frac{V _{stozka} }{V _{kuli} }}\)

następnie obliczam wysokość:


po skróceniu wychodzi mi że \(\displaystyle{ H=8r}\)

Wyliczam z pitagorasa długość ramienia \(\displaystyle{ l=2r \sqrt{17}}\)

Mam już długość wszystkich boków trojkąta więc przechodze do twierdzenia cosinusów:

Niestety wynik wychodzi \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{120}{136}}\)

[anna_]

Z podobieństwa trójkątów

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{h-r}{r} = \frac{l}{2r} \\h^2+(2r)^2=l^2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}h= \frac{8}{3}\\l= \frac{10}{3} r\end{cases}}\)

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)

\(\displaystyle{ (2r)^2=l^2+l^2-2l^2\cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{l^2-8r^2}{l^2}\\cos\alpha=1- \frac{8r^2}{l^2}\\cos\alpha=1- 8(\frac{r}{l})^2\\cos\alpha=1- 8(\frac{r}{\frac{10}{3} r})^2\\cos\alpha=1- 8 \cdot \frac{9}{100}\\cos\alpha= \frac{7}{25}}\)