Oblicz cosinus kąta rozwarcia stożka
Oblicz cosinus kąta rozwarcia stożka
Mam w czwartek sprawdziań ze stereometri i borykam się z dwoma zadaniami z powtórzenia.
1. Promień podstawy strożka jest 2 razy dluzszy od promienia kuli wpisanej w ten stożek. Oblicz cosinus kąta rozwarcia stożka.
(odp to \(\displaystyle{ \frac{7}{25}}\))
2. W kulę o promieniu R wpisano stożek o wysokości H, gdzie H > R. Wyznacz cosinus kąta rozwarcia stożka.
(odp to \(\displaystyle{ \frac{H-R}{R}}\))
Nie potrafie rozwiązywać zadań na literach, jednak w tym pierwszym widzę że literki sie musialy poskracać jakoś, czyli trzeba to jakoś łądnie zapisać jednak nie wychodzi mi nic ciekawego.
Proszę o pomoc
1. Promień podstawy strożka jest 2 razy dluzszy od promienia kuli wpisanej w ten stożek. Oblicz cosinus kąta rozwarcia stożka.
(odp to \(\displaystyle{ \frac{7}{25}}\))
2. W kulę o promieniu R wpisano stożek o wysokości H, gdzie H > R. Wyznacz cosinus kąta rozwarcia stożka.
(odp to \(\displaystyle{ \frac{H-R}{R}}\))
Nie potrafie rozwiązywać zadań na literach, jednak w tym pierwszym widzę że literki sie musialy poskracać jakoś, czyli trzeba to jakoś łądnie zapisać jednak nie wychodzi mi nic ciekawego.
Proszę o pomoc
-
- Użytkownik
- Posty: 3018
- Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 322 razy
Oblicz cosinus kąta rozwarcia stożka
\(\displaystyle{ cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{h}{l}}\);
\(\displaystyle{ \frac{h - r}{r} = \frac{l}{2r} \,\,\, \rightarrow 2 \frac{h}{l} = 1 + \frac{2r}{l} \,\,\, \rightarrow 2 cos(\frac{\alpha}{2}) = 1 - sin(\frac{\alpha}{2})}\);
uwzględniasz jedynkę tryg. i po przekształceniach masz: \(\displaystyle{ 5 cos^{2}(\frac{\alpha}{2}) - 4cos(\frac{\alpha}{2}) = 0}\)
co po uwzględnieniu wzoru na \(\displaystyle{ cos(2\alpha)}\) prowadzi do rozwiazanie.
drugie analogicznie.
\(\displaystyle{ \frac{h - r}{r} = \frac{l}{2r} \,\,\, \rightarrow 2 \frac{h}{l} = 1 + \frac{2r}{l} \,\,\, \rightarrow 2 cos(\frac{\alpha}{2}) = 1 - sin(\frac{\alpha}{2})}\);
uwzględniasz jedynkę tryg. i po przekształceniach masz: \(\displaystyle{ 5 cos^{2}(\frac{\alpha}{2}) - 4cos(\frac{\alpha}{2}) = 0}\)
co po uwzględnieniu wzoru na \(\displaystyle{ cos(2\alpha)}\) prowadzi do rozwiazanie.
drugie analogicznie.
Oblicz cosinus kąta rozwarcia stożka
Dziękuje, tylko że zastanawia mnie to
\(\displaystyle{ \frac{h - r}{r} = \frac{l}{2r}}\)
gdyż ja tam szukałem jakiś zależności i to mi raczej nie wyszlo.. jak juz to
\(\displaystyle{ \frac{h - r}{r} = \frac{h}{2r}}\)
bo jak zrobię l to nie zgadza sie ani z podobienstwem ani z talesem? chyba ze jestem niedoinformowany ale sprawdzam t oteraz w googlach i nie potrafie znalesc takiej zaleznosci.
Może narysowac jakis rysunek pomocniczy?
\(\displaystyle{ \frac{h - r}{r} = \frac{l}{2r}}\)
gdyż ja tam szukałem jakiś zależności i to mi raczej nie wyszlo.. jak juz to
\(\displaystyle{ \frac{h - r}{r} = \frac{h}{2r}}\)
bo jak zrobię l to nie zgadza sie ani z podobienstwem ani z talesem? chyba ze jestem niedoinformowany ale sprawdzam t oteraz w googlach i nie potrafie znalesc takiej zaleznosci.
Może narysowac jakis rysunek pomocniczy?
-
- Użytkownik
- Posty: 3018
- Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 322 razy
Oblicz cosinus kąta rozwarcia stożka
w podobieństwie trójkątów porównujemy podobne boki: przeciwprostokątne ( h-r ; l ), krótsze przyprostokątne ( r, 2r ) dłuższe przyprostokątne ( kawałek l , h ).
Jeżeli w jednym trójkącie, przyrównujesz przeciwprostokątną do krótszej przyprostokątnej, to w drugim trójkącie musisz zrobić tak samo.
wszystko jest OK.
Jeżeli w jednym trójkącie, przyrównujesz przeciwprostokątną do krótszej przyprostokątnej, to w drugim trójkącie musisz zrobić tak samo.
wszystko jest OK.
Oblicz cosinus kąta rozwarcia stożka
Jakoś nie mogę zrozumieć skąd się to bierze.
Skoro z zadania wiemy że:
r = 2R
pozwoliłem sobie zrobić prowizoryczny rysunek i jakoś nie widzę tu podobnych trójkątów.
mógłby mi ktoś to wytłumaczyć a najlepiej narysować to ??
Z góry dzięki
Skoro z zadania wiemy że:
r = 2R
pozwoliłem sobie zrobić prowizoryczny rysunek i jakoś nie widzę tu podobnych trójkątów.
mógłby mi ktoś to wytłumaczyć a najlepiej narysować to ??
Z góry dzięki
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 25 gru 2011, o 10:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nysa
- Podziękował: 13 razy
Oblicz cosinus kąta rozwarcia stożka
A ja wpadłem na pomysł żeby zrobić to zadanko z tw cosinusów i coś mi ni wychodzi.
Trójkąt w który ma być wpisany okrąg jest trójkątem równoramiennym o podstawie 4r . Żeby wylicz ramię tego trójkąta potrzebuje wysokość żeby użyć pitagorasa.
Zatem \(\displaystyle{ k= \frac{r _{stozka} }{r _{kuli} } = 2}\)
\(\displaystyle{ k ^{3} =\frac{V _{stozka} }{V _{kuli} }}\)
następnie obliczam wysokość:
po skróceniu wychodzi mi że \(\displaystyle{ H=8r}\)
Wyliczam z pitagorasa długość ramienia \(\displaystyle{ l=2r \sqrt{17}}\)
Mam już długość wszystkich boków trojkąta więc przechodze do twierdzenia cosinusów:
Niestety wynik wychodzi \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{120}{136}}\)
Trójkąt w który ma być wpisany okrąg jest trójkątem równoramiennym o podstawie 4r . Żeby wylicz ramię tego trójkąta potrzebuje wysokość żeby użyć pitagorasa.
Zatem \(\displaystyle{ k= \frac{r _{stozka} }{r _{kuli} } = 2}\)
\(\displaystyle{ k ^{3} =\frac{V _{stozka} }{V _{kuli} }}\)
następnie obliczam wysokość:
po skróceniu wychodzi mi że \(\displaystyle{ H=8r}\)
Wyliczam z pitagorasa długość ramienia \(\displaystyle{ l=2r \sqrt{17}}\)
Mam już długość wszystkich boków trojkąta więc przechodze do twierdzenia cosinusów:
Niestety wynik wychodzi \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{120}{136}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Oblicz cosinus kąta rozwarcia stożka
Z podobieństwa trójkątów
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{h-r}{r} = \frac{l}{2r} \\h^2+(2r)^2=l^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}h= \frac{8}{3}\\l= \frac{10}{3} r\end{cases}}\)
Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)
\(\displaystyle{ (2r)^2=l^2+l^2-2l^2\cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{l^2-8r^2}{l^2}\\cos\alpha=1- \frac{8r^2}{l^2}\\cos\alpha=1- 8(\frac{r}{l})^2\\cos\alpha=1- 8(\frac{r}{\frac{10}{3} r})^2\\cos\alpha=1- 8 \cdot \frac{9}{100}\\cos\alpha= \frac{7}{25}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{h-r}{r} = \frac{l}{2r} \\h^2+(2r)^2=l^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}h= \frac{8}{3}\\l= \frac{10}{3} r\end{cases}}\)
Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)
\(\displaystyle{ (2r)^2=l^2+l^2-2l^2\cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{l^2-8r^2}{l^2}\\cos\alpha=1- \frac{8r^2}{l^2}\\cos\alpha=1- 8(\frac{r}{l})^2\\cos\alpha=1- 8(\frac{r}{\frac{10}{3} r})^2\\cos\alpha=1- 8 \cdot \frac{9}{100}\\cos\alpha= \frac{7}{25}}\)