Ostrosłup prawidłowy czworokątny

[asterius92]

Witam ,

mam problem z następującym zadaniem , każda podpowiedź mile widziana

Pole powierzchni bocznej czworokątnego ostrosłupa prawidłowego wynosi \(\displaystyle{ 12\sqrt{2}}\)
a kąt między wysokościami przyległych ścian bocznych poprowadzony z wierzchołka ostrosłupa ma miarę 60 stopni. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

[Calfy]

AU

65556042657046156047_thumb.jpg (5.52 KiB) Przejrzano 84 razy

[/url]
a - długość podstawy
H - wysokość ostrosłupa
h - wysokość ściany bocznej
Dane mamy \(\displaystyle{ P_b=12 \sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ |\sphericalangle EFS|=60^o}\)
Do obliczenia jest \(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} a^2H}\)

\(\displaystyle{ P_b=4 \cdot \frac{1}{2}ah}\)

W podstawie mamy kwadrat. Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi. Wysokości ścian bocznych opadające na krawędzie podstawy dzielą ją na połowy. \(\displaystyle{ |EB|=|BF|= \frac{1}{2}a \wedge EB \perp BF}\)
W Δ EFB, z tw. Pitagorasa możemy wyznaczyć |EF|
Mając EF, w Δ EFS, z twierdzenia kosinusów można wyznaczyć h.
\(\displaystyle{ |EF|^2=h^2+h^2-2h^2 \cdot cos60^o}\)
Podstawiamy h do wzoru na pole boczne i wyliczamy a
Wiemy też, że:
\(\displaystyle{ |OF|=\frac{1}{2}a}\)
W Δ SOF, z tw. Pitagorasa możesz obliczyć H.
Podstawiasz wyliczone a i H do wzoru na objętość.
Z moich wyliczeń
\(\displaystyle{ a=2 \sqrt{3} \qquad h=\sqrt{6} \qquad H=\sqrt{3} \\ V=4 \sqrt{3}}\)