Stosunek objetości ostrosłupa i kuli

[myszka666]

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny o kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\). Każda krawędź boczna tworzy z podstawą kąt \(\displaystyle{ \beta}\). Oblicz stosunek objętości ostrosłupa do objętości opisanej na nim kuli.

[florek177]

Jeżeli krawędzie ostrosłupa są jednakowo nachylone do podstawy, to na tym ostrosłupie można opisać stożek. Ponadto wiadomo, że przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego na podstawie --> wysokość ostrosłupa jest prostopadła do średnicy i ją połowi. kąt \(\displaystyle{ \beta}\) jest kątem między krawędzią i średnicą.

Rozpatrujesz 3 przypadki:
a) \(\displaystyle{ H > R}\);
b) \(\displaystyle{ H = R}\);
c) \(\displaystyle{ H < R}\);

Pole podstawy: \(\displaystyle{ P_{p} = \frac{1}{2} c^{2} \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha) \,\,\,\, ;}\) \(\displaystyle{ H = \frac{c}{2} \cdot tg(\beta)}\);

szukamy R dla kuli.
a) \(\displaystyle{ H = R + x \rightarrow R = \frac{c}{2} \cdot tg(\beta) - x \,\,\, ;}\) oraz \(\displaystyle{ x = \sqrt{R^{2} - (\frac{c}{2})^{2}}}\);


po podstawieniu i obliczeniach mamy: \(\displaystyle{ R = \frac{c \cdot (tg^{2} (\beta)+ 1)}{4 \cdot tg(\beta)}}\)

podstawiamy do wzorów .

analogicznie pozostałe przypadki.