Stosunek objetości ostrosłupa i kuli
-
- Użytkownik
- Posty: 107
- Rejestracja: 5 maja 2010, o 23:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Pkr
- Podziękował: 35 razy
Stosunek objetości ostrosłupa i kuli
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny o kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\). Każda krawędź boczna tworzy z podstawą kąt \(\displaystyle{ \beta}\). Oblicz stosunek objętości ostrosłupa do objętości opisanej na nim kuli.
-
- Użytkownik
- Posty: 3018
- Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 322 razy
Stosunek objetości ostrosłupa i kuli
Jeżeli krawędzie ostrosłupa są jednakowo nachylone do podstawy, to na tym ostrosłupie można opisać stożek. Ponadto wiadomo, że przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego na podstawie --> wysokość ostrosłupa jest prostopadła do średnicy i ją połowi. kąt \(\displaystyle{ \beta}\) jest kątem między krawędzią i średnicą.
Rozpatrujesz 3 przypadki:
a) \(\displaystyle{ H > R}\);
b) \(\displaystyle{ H = R}\);
c) \(\displaystyle{ H < R}\);
Pole podstawy: \(\displaystyle{ P_{p} = \frac{1}{2} c^{2} \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha) \,\,\,\, ;}\) \(\displaystyle{ H = \frac{c}{2} \cdot tg(\beta)}\);
szukamy R dla kuli.
a) \(\displaystyle{ H = R + x \rightarrow R = \frac{c}{2} \cdot tg(\beta) - x \,\,\, ;}\) oraz \(\displaystyle{ x = \sqrt{R^{2} - (\frac{c}{2})^{2}}}\);
po podstawieniu i obliczeniach mamy: \(\displaystyle{ R = \frac{c \cdot (tg^{2} (\beta)+ 1)}{4 \cdot tg(\beta)}}\)
podstawiamy do wzorów .
analogicznie pozostałe przypadki.
Rozpatrujesz 3 przypadki:
a) \(\displaystyle{ H > R}\);
b) \(\displaystyle{ H = R}\);
c) \(\displaystyle{ H < R}\);
Pole podstawy: \(\displaystyle{ P_{p} = \frac{1}{2} c^{2} \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha) \,\,\,\, ;}\) \(\displaystyle{ H = \frac{c}{2} \cdot tg(\beta)}\);
szukamy R dla kuli.
a) \(\displaystyle{ H = R + x \rightarrow R = \frac{c}{2} \cdot tg(\beta) - x \,\,\, ;}\) oraz \(\displaystyle{ x = \sqrt{R^{2} - (\frac{c}{2})^{2}}}\);
po podstawieniu i obliczeniach mamy: \(\displaystyle{ R = \frac{c \cdot (tg^{2} (\beta)+ 1)}{4 \cdot tg(\beta)}}\)
podstawiamy do wzorów .
analogicznie pozostałe przypadki.