istnienie trójkata
-
- Użytkownik
- Posty: 874
- Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wszedzie
- Podziękował: 248 razy
- Pomógł: 10 razy
istnienie trójkata
Niech dany będzie dowolny czworościan ABCD,taki że\(\displaystyle{ x = AB \cdot CD, y = AC \cdot BD, z = AD \cdot BC}\). Pokaż że istnieje trójkąta o bokach \(\displaystyle{ x, y, z}\).
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
istnienie trójkata
Zapiszmy nierówność Ptolemeusza:
\(\displaystyle{ AB \cdot CD + AC \cdot BD \ge AD \cdot BC \iff x+y \ge z}\)
Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) leżą na okręgu. Jest jasne, że te punkty nie leżą na okręgu, więc tam jest nierówność ostra \(\displaystyle{ x+y>z}\)
Analogicznie mamy \(\displaystyle{ y+z>x, \ z+x>y}\) a stąd tezę.
\(\displaystyle{ AB \cdot CD + AC \cdot BD \ge AD \cdot BC \iff x+y \ge z}\)
Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) leżą na okręgu. Jest jasne, że te punkty nie leżą na okręgu, więc tam jest nierówność ostra \(\displaystyle{ x+y>z}\)
Analogicznie mamy \(\displaystyle{ y+z>x, \ z+x>y}\) a stąd tezę.