istnienie trójkata

[darek20]

Niech dany będzie dowolny czworościan ABCD,taki że\(\displaystyle{ x = AB \cdot CD, y = AC \cdot BD, z = AD \cdot BC}\). Pokaż że istnieje trójkąta o bokach \(\displaystyle{ x, y, z}\).

[timon92]

Zapiszmy nierówność Ptolemeusza:
\(\displaystyle{ AB \cdot CD + AC \cdot BD \ge AD \cdot BC \iff x+y \ge z}\)
Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) leżą na okręgu. Jest jasne, że te punkty nie leżą na okręgu, więc tam jest nierówność ostra \(\displaystyle{ x+y>z}\)
Analogicznie mamy \(\displaystyle{ y+z>x, \ z+x>y}\) a stąd tezę.