Proszę o rozwiązanie chociaż kilku:
1.W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna o długości 20cm jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 stopni. Oblicz pole powierzchni i objętość graniastosłupa.
2. Oblicz objętość i pole graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, którego długość wysokości podstawy ma 4√3 a przekątna przekroju przechodzącego przez krawędzie boczną i wysokość podstawy jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni.
3. W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym krawędź podstawy ma długość 6√2 a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny ma miarę 45 stopni. Oblicz objętość i obwód graniastosłupa.
4. Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o boku długości 10 cm i przekątnej 15 cm. Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Oblicz objętość ostrosłupa wiedząc że wszystkie jego krawędzie są równej długości.
5. Tworząca stożka jest nachylona do podstawy pod kątem 30 stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość stożka którego średnia podstawy ma długość 20cm.
Pola i objętości brył
-
agulka1987
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy
Pola i objętości brył
1.
\(\displaystyle{ D=20}\)
\(\displaystyle{ sin30^o = \frac{h}{D}\\
\frac{1}{2}=\frac{h}{20}\\
h=10}\)
\(\displaystyle{ cos30^o = \frac{d_{p}}{D}\\
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{d_{p}}{20}\\
d_{p}=10\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ d_{p}=a\sqrt{2} \Rightarrow 10\sqrt{3} = a\sqrt{2} \Rightarrow a=5\sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ V=a^2 \cdot h = (5\sqrt{6})^2 \cdot 10 = 1500 \ cm^3}\)
\(\displaystyle{ P_{pc} = 2a^2 + 4ah = 2(5\sqrt{6})^2 + 4\cdot 5\sqrt{6} \cdot 10 = 300 + 200\sqrt{6} = 100(3+2\sqrt{5}) \ cm}\)
-- 10 października 2010, 21:31 --
3.
\(\displaystyle{ a=6\sqrt{2}\\
d_{p}=a\sqrt{2} = 12\\}\)
kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ma 45 stopni więc trójkat prostokątny wyznaczony przez wysokość ostrosłupa, połowę przekątnej podstawy i krawędż boczną jest trójkatemprostokatnym równoramiennym, czyli:
\(\displaystyle{ h=\frac{1}{2}d_{p} = 6}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}P_{p} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (6\sqrt{2})^2 \cdot 6 = 144 \ cm^3}\)
\(\displaystyle{ h_{b} = \sqrt{h^2 + \left( \frac{1}{2}a\right) ^2} = \sqrt{54}=3\sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ P_{pc} = a^2 + 4\cdot \frac{1}{2}ah_{b} = 72 + 72\sqrt{3} = 72(1+\sqrt{3}) \ cm^2}\)
-- 10 października 2010, 21:39 --
4.
\(\displaystyle{ d_{P} = 15\\
a=10\\
b=\sqrt{(d_{p})^2 - a^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ tg60^o = \frac{h}{\frac{1}{2}d_{p}}\\
\sqrt{3}=\frac{h}{\frac{15}{2}}\\
h=\frac{15\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}abh = 250\sqrt{15} \ cm^3}\)
-- 10 października 2010, 21:48 --
5.
\(\displaystyle{ 2r=20 \Rightarrow r=10}\)
\(\displaystyle{ tg30^o = \frac{h}{r}\\
\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h}{10}\\
h=\frac{10\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ cos30^o = \frac{r}{l}\\
\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{10}{l}\\
l=\frac{20\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\pi r^2 \cdot h = \frac{1000\sqrt{3}}{3}\pi \ cm^3}\)
\(\displaystyle{ P_{pc} = \pi r^2 + \pi rl = 100\pi + \frac{200\sqrt{3}}{3}\pi = \frac{100}{3}\pi(3+2\sqrt{3}) \ cm^2}\)
\(\displaystyle{ D=20}\)
\(\displaystyle{ sin30^o = \frac{h}{D}\\
\frac{1}{2}=\frac{h}{20}\\
h=10}\)
\(\displaystyle{ cos30^o = \frac{d_{p}}{D}\\
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{d_{p}}{20}\\
d_{p}=10\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ d_{p}=a\sqrt{2} \Rightarrow 10\sqrt{3} = a\sqrt{2} \Rightarrow a=5\sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ V=a^2 \cdot h = (5\sqrt{6})^2 \cdot 10 = 1500 \ cm^3}\)
\(\displaystyle{ P_{pc} = 2a^2 + 4ah = 2(5\sqrt{6})^2 + 4\cdot 5\sqrt{6} \cdot 10 = 300 + 200\sqrt{6} = 100(3+2\sqrt{5}) \ cm}\)
-- 10 października 2010, 21:31 --
3.
\(\displaystyle{ a=6\sqrt{2}\\
d_{p}=a\sqrt{2} = 12\\}\)
kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ma 45 stopni więc trójkat prostokątny wyznaczony przez wysokość ostrosłupa, połowę przekątnej podstawy i krawędż boczną jest trójkatemprostokatnym równoramiennym, czyli:
\(\displaystyle{ h=\frac{1}{2}d_{p} = 6}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}P_{p} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (6\sqrt{2})^2 \cdot 6 = 144 \ cm^3}\)
\(\displaystyle{ h_{b} = \sqrt{h^2 + \left( \frac{1}{2}a\right) ^2} = \sqrt{54}=3\sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ P_{pc} = a^2 + 4\cdot \frac{1}{2}ah_{b} = 72 + 72\sqrt{3} = 72(1+\sqrt{3}) \ cm^2}\)
-- 10 października 2010, 21:39 --
4.
\(\displaystyle{ d_{P} = 15\\
a=10\\
b=\sqrt{(d_{p})^2 - a^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ tg60^o = \frac{h}{\frac{1}{2}d_{p}}\\
\sqrt{3}=\frac{h}{\frac{15}{2}}\\
h=\frac{15\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}abh = 250\sqrt{15} \ cm^3}\)
-- 10 października 2010, 21:48 --
5.
\(\displaystyle{ 2r=20 \Rightarrow r=10}\)
\(\displaystyle{ tg30^o = \frac{h}{r}\\
\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h}{10}\\
h=\frac{10\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ cos30^o = \frac{r}{l}\\
\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{10}{l}\\
l=\frac{20\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\pi r^2 \cdot h = \frac{1000\sqrt{3}}{3}\pi \ cm^3}\)
\(\displaystyle{ P_{pc} = \pi r^2 + \pi rl = 100\pi + \frac{200\sqrt{3}}{3}\pi = \frac{100}{3}\pi(3+2\sqrt{3}) \ cm^2}\)