objętość stożka

[staszektrabka]

dla jakich wartości \(\displaystyle{ x}\) objętość stożka jest równa \(\displaystyle{ 32 \pi}\)?

podstawa to koło, r: \(\displaystyle{ x+2}\)
wysokość stożka: \(\displaystyle{ 3x}\)

[lukasz1804]

Ze wzoru na objętość stożka mamy \(\displaystyle{ 32\pi=\frac{1}{3}\pi\cdot(x+2)^2\cdot 3x}\), skąd \(\displaystyle{ 32=x(x+2)^2\iff x^3+4x^2+4x-32=0\iff 0=(x^3-8)+4(x^2+x-6)=(x-2)(x^2+2x+4)+4(x-2)(x+3)=(x-2)(x^2+2x+4+4x+12)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 3x}\) jest wysokością stożka, to jako długość odcinka musi być \(\displaystyle{ 3x>0}\), więc \(\displaystyle{ x>0}\). Stąd i z powyższego rozkładu na czynniki łatwo widać, że musi być \(\displaystyle{ x=2}\), bowiem czynnik \(\displaystyle{ x^2+2x+4+4x+12}\) jest dodatni dla każdej wartości \(\displaystyle{ x>0}\) (nie ma zatem nawet potrzeby badania, czy ten trójmian jest rozkładalny - choć akurat i tak nie jest).

[agulka1987]

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\pi r^2 \cdot h}\)

\(\displaystyle{ 32\pi = \frac{1}{3}\pi (x+2)^2 \cdot 3x}\)

\(\displaystyle{ 32=x^3+4x^2+4x}\)


\(\displaystyle{ x^3+4x^2+4x-32 = 0}\)

\(\displaystyle{ (x-2)(x^2+6x+16)=0}\)

\(\displaystyle{ x-2=0 \vee x^2+6x+16=0}\)

\(\displaystyle{ x=2 \vee x \in \o}\)


\(\displaystyle{ x=2}\)