Objętość ostrosupa

[madzia_wawa]

I
Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe \(\displaystyle{ 64 cm ^{2}}\). wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosupa.

II
Oblicz objetość ostrosupa prawidłowego czworokątnego o wysokości równej 9, jeżeli:

a) pole koa opisanego na jego podstawie jest rwna \(\displaystyle{ 8 \pi}\)
b) cosinus kata miedzy wysokością tego ostrosłupa a jego krawędzią boczna jest równy\(\displaystyle{ 0.6}\)

[agulka1987]

1.
\(\displaystyle{ P_{p}=a^2 = 64 \Rightarrow a=8}\)

\(\displaystyle{ h_{b}=5}\)


\(\displaystyle{ P_{pc} = P_{p} + 4 \cdot \frac{1}{2}a \cdot h_{b} = 64 + 40=104 \ cm^2}\)


\(\displaystyle{ H=\sqrt{(h_{b})^2 - \left( \frac{1}{2}a\right) ^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9}=3}\)

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 3 = 64 \ cm^3}\)

-- 6 października 2010, 15:16 --

2.

a)
\(\displaystyle{ H=9}\)

\(\displaystyle{ \pir^2=8\pi \Rightarrow r^2=8 \Rightarrow r=2\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ r=\frac{1}{2}d_{p} \Rightarrow d_{p} = 4\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ d=a\sqrt{2} \Rightarrow a=4}\)

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}a^2 \cdot H=48 \ j^3}\)


b)
\(\displaystyle{ H=9}\)

\(\displaystyle{ cos\alpha = \frac{H}{h_{b}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{6}{10} = \frac{9}{h_{b}} \Rightarrow h_{b} = 15}\)


\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}a \right)^2 = (h_{b})^2 - H^2}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4}a^2 = 144 \Rightarrow a^2 = 576 \Rightarrow a=24}\)


\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}a^2 \cdot H = 1728 \ j^2}\)