Objętość ostrosłupa i kuli, pole kuli - wyprowadzenie wzorów

[tranto]

Czy istnieje jakaś elementarna metoda wyprowadzenia wzorów na:
1) objętość ostrosłupa
2) pole powierzchni kuli
3) objętość kuli?

Dotychczas korzystaliśmy na lekcjach z gotowych wzorów, bez jakiegokolwiek ich uzasadniania. Podobnego podejścia nie znoszę. Mam niechęć do stosowania wzorów, o których poprawności nie jestem przekonana.

I poza tym chciałabym zapytać o wzór na pole powierzchni koła. Czy może za jego uzasadnienie służyć konstrukcja n-kątów foremnych opisanych na okręgu? Gdzie zauważamy, że pole takiego n-kąta jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2} RL}\), przy czym \(\displaystyle{ L}\) to jego obwód, a następnie, że przy coraz większych n wielokąt coraz bardziej będzie zbliżał się kształtem i wielkością do koła. Czy to będzie poprawne matematycznie rozumowanie?

[Chromosom]

Dotychczas korzystaliśmy na lekcjach z gotowych wzorów, bez jakiegokolwiek ich uzasadniania. Podobnego podejścia nie znoszę.

i bardzo slusznie

I poza tym chciałabym zapytać o wzór na pole powierzchni koła. Czy może za jego uzasadnienie służyć konstrukcja n-kątów foremnych opisanych na okręgu? Gdzie zauważamy, że pole takiego n-kąta jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2} RL}\), przy czym \(\displaystyle{ L}\) to jego obwód, a następnie, że przy coraz większych n wielokąt coraz bardziej będzie zbliżał się kształtem i wielkością do koła. Czy to będzie poprawne matematycznie rozumowanie?

tak

Czy istnieje jakaś elementarna metoda wyprowadzenia wzorów na:
1) objętość ostrosłupa
2) pole powierzchni kuli
3) objętość kuli?

i tutaj wlasnie jeden z najbardziej elementarnych sposobow to przejscie do granicy, o ktorym napisales wyzej, a ktore w tym wypadku nie jest szczegolnie wymagajace. Widze ze orientujesz sie w granicach, wezmy wiec przyklad 1 - masz podobny pomysl na uzyskanie objetosci ostroslupa?

[Qń]

Nieelementarnie można to oczywiście policzyć przy użyciu rachunku całkowego, natomiast (względnie) elementarnie istotnie przy użyciu granic. W starożytności i użycie granic ograniczono do minimum, stwierdzając, że jedyną znaną granicą jest:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+ \dots = 1}\)
Wszystkie wzory (niektóre w sposób wymagający sporej pomysłowości) da się wyprowadzić przy użyciu powyższej równości oraz tzw. "metody wyczerpywania", którą opisał Marek Kordos w Wykładach z historii matematyki.

Q.

[tranto]

Możemy pokroić ostrosłup na n plasterków o równej grubości, za pomocą n-1 cięć równoległych do płaszczyzny podstawy. Niech pole podstawy wynosi \(\displaystyle{ P_n}\), a pola kolejnych przekrojów \(\displaystyle{ P_{n-1}, ..., P_1}\). Przyjmijmy, że wysokość ostrosłupa wynosi \(\displaystyle{ h}\). Wówczas możemy przybliżyć objętość ostrosłupa za pomocą n graniastosłupów prostych o polach podstawy \(\displaystyle{ P_1, ..., P_n}\) i wysokości \(\displaystyle{ \frac{h}{n}}\) każdy. Zwiększając n będziemy uzyskiwać coraz większą dokładność.

Wydaje mi się, że kolejne przekroje będą figurami podobnymi. Nie wiem, jak to poprawnie udowodnić. Jeżeli tak, to korzystając z własności, że stosunek pól figur płaskich jest równy kwadratowi skali podobieństwa (znowu nie wiem, skąd to się naprawdę bierze, chociaż samo postawienie takiej hipotezy byłoby naturalne), można wyliczyć \(\displaystyle{ \frac{P_i}{P_n} = \left(\frac{i}{n} \right)^2}\).

I wówczas objętość i-tego plasterka wynosi \(\displaystyle{ V_i = \left( \frac{i}{n} \right)^2 \cdot \frac{h}{n} P_n}\). Stąd:

\(\displaystyle{ V = \sum_{k=1}^{n} V_i = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{i}{n} \right)^2 \frac{h}{n} P_n = \frac{h}{n^3} P_n \cdot \sum_{k=1}^{n} i^2 = \frac{h}{n^3} P_n \cdot \frac{n (n+1)(2n+1)}{6} =}\)

\(\displaystyle{ = P_n h \cdot \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6n^3}
= P_n h \cdot \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2} \right)}\).

Przy rosnącym n, dwa ostatnie składniki z nawiasu będą zbliżać się coraz bardziej do zera. \(\displaystyle{ P_n}\) to pole podstawy ostrosłupa, więc ostatecznie otrzymujemy wzór \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3} P_p h}\).


BTW,

o ktorym napisales wyzej

Jestem płci żeńskiej

[Chromosom]

calosc bardzo dobrze

Wydaje mi się, że kolejne przekroje będą figurami podobnymi. Nie wiem, jak to poprawnie udowodnić

rowniez elementarnie. Narysuj sobie jedna z bocznych scian takiego ostroslupa, ile bedzie wynosic dlugosc poziomego odcinka znajdujacego sie na wysokosci \(\displaystyle{ x,\ 0\le x\le h}\)? na tej podstawie oblicz pole, a nastepnie objetosc cienkiej warstwy znajdujacej sie na wysokosci \(\displaystyle{ x}\)