Objętość graniastosłupa prawidłowego

[mateusz3]

Najdłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 8 cm, a kąt nachylenia tej przekątnej do płaszczyzny podstawy ma miarę 600. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

[magdabp]

objetosc mi wyszla 24*pierwiastek z 6
a pole boczne 48*pierwiastek z 2

[mateusz3]

A w jaki sposób to obliczyłaś?

[magdabp]

trzeba skorzystac z wlasnosci trojkatow o bokach 30, 60 i 90 stopni.
przekatna graniastoslupa=8
przekatna podstawy=4
wysokosc graniastoslupa=4pierwiastki z 2

liczysz pole podstawy z wzoru 6*a^2*pierwiastek z 3/4 i tu wychodzi 6*pierwiastek z 3
potem to mnożysz przez wysokość czyli 4*pierwiastek z 2 i wychodzi 24*pierwiastek z 6

[ Dodano: 7 Listopad 2006, 20:48 ]
a zeby obliczyc pole boczne to mnozysz 6*2*4 pierw. z 2 = 48 pierw z 2

krawedz podstawy = 2

[Lady Tilly]

Mi wyszło ciut inaczej. Podstawą jest sześciokąt więc mozna zapisać:
\(\displaystyle{ cos60^{o}=\frac{H}{8}}\) gdzie H jest wysokością graniastosłupa wiec:
H=4 i dalej
\(\displaystyle{ sin60^{o}=\frac{a}{8}}\) gdzie "a" to podwojony bok sześciokąta więc \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{8}}\) czyli \(\displaystyle{ a=4\sqrt{3}}\) bok sześciąkąta ma wiec długość: \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\) teraz wzór na objętość:
\(\displaystyle{ V=6{\cdot}Pp{\cdot}H}\)
\(\displaystyle{ Pp=\frac{12\sqrt{3}}{4}=3\sqrt{3}}\)
więc:
\(\displaystyle{ V=72\sqrt{3}}\)