Oblicz objętość

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
michalek1912
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 10:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWR
Podziękował: 3 razy

Oblicz objętość

Post autor: michalek1912 »



Jaką objętość ma przedstawiony prostopadłościan na rysunku?
Lbubsazob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4672
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 124 razy
Pomógł: 978 razy

Oblicz objętość

Post autor: Lbubsazob »

Myślę, że powinno być tak:
\(\displaystyle{ a}\) - długość
\(\displaystyle{ b}\) - szerokość
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość
Zał. \(\displaystyle{ a, b, H, p, d >0}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ p}\) jest przekątną prostokąta o bokach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ H}\) oraz jednocześnie \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ H}\), wynika z tego, że \(\displaystyle{ a=b}\).
Prostopadłościan ma w podstawie kwadrat. Oznaczmy przekątną kwadratu jako \(\displaystyle{ d}\). Z tw. cosinusów wynika, że
\(\displaystyle{ d^2=p^2+p^2-2p^2\cos \alpha=2p^2\left( 1-\cos\alpha\right) \\
d=p \sqrt{2} \cdot \sqrt{1-\cos \alpha}}\)

\(\displaystyle{ d=a \sqrt{2}}\) więc \(\displaystyle{ a=p \sqrt{1-\cos \alpha}}\)
Z tw. Pitagorasa masz \(\displaystyle{ a^2+H^2=p^2}\), wyznaczasz \(\displaystyle{ H}\) w zależności od \(\displaystyle{ p}\), no i \(\displaystyle{ V=a^2 \cdot H}\)
michalek1912
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 10:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWR
Podziękował: 3 razy

Oblicz objętość

Post autor: michalek1912 »

nie da sie tego obliczyć bez używania twierdzenia cosinusów?
Lbubsazob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4672
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 124 razy
Pomógł: 978 razy

Oblicz objętość

Post autor: Lbubsazob »

Nie sądzę, po coś ten kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) musieli podać...
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

Oblicz objętość

Post autor: Inkwizytor »

michalek
1. Kąt musi zostać użyty
2. Przedstawione rozwiązanie jest najprostsze
3. Czy w treści zadania było zastrzeżenie: "nie używając tw. cosinusów"?
Można sobie również uprościć zapis: \(\displaystyle{ \sqrt{1-\cos \alpha} = \sqrt{sin^2\left( \frac{\alpha}{2} \right) + cos^2\left( \frac{\alpha}{2} \right)-cos^2\left( \frac{\alpha}{2} \right)+ sin^2\left( \frac{\alpha}{2} \right)} = \sqrt{2}sin\left( \frac{\alpha}{2} \right)}\)
ODPOWIEDZ