objętość czworościanu

[rnosowsk1]

Znaleźć największą objętość czworościanu, który jest wpisany w półkule o promieniu 1.

[Inkwizytor]

Fakt 1. Wszystkie ściany czworościanu są trójkątami
Fakt 2. Wybór ściany jako podstawy nie ma znaczenia
Fakt 3. Po wybraniu danego trójkąta jako podstawy w przekroju (widok z góry) istnieje okrąg należący do kuli który bedzie okręgiem opisanym dla tego trójkąta-podstawy.
Fakt 4. Mozna udowodnić że maksymalne pole trójkąta wpisanego w dany okrąg przypisane jest trójkątowy równobocznemu
---------------------------
Dowód w skróconej postaci
---------------------------
Rysujemy okrąg i dowolny trójkąt wpisany.
Wybieramy dowolny bok i go "unieruchamiamy".
Pozostałe dwa boki wraz z wierzchołkiem wspólnym moga się przesuwać po łuku okręgu.
Łatwo zauważyć, że maskymalne pole takiego trójkąta będzie gdy ruchomy wierzchołek bedzie maksymalnie oddalony od unieruchomionego boku.
Będzie tak dla trójkąta równoramiennego.
Teraz powtarzamy nasz tok rozumowania ale zmieniamy unieruchomiony bok, aż dochodzimy do sytuacji w której nie da się nic już poprawić dla trójkąta równobocznego.
---------------------------------------------------------------------
Fakt 5. Szukamy zatem ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o maksymalnej objętości wpisanego w kule o promieniu o 1.
Czemu prawidłowego? Bo maksymalne duzą wysokość bedzie w punkcie maksymalnie oddalonym od podstawy ostrosłupa. A tak bedzie gdy wierzchołek nad podstawą bedzie równooddalony od wierzchołków podstawy.
To juz chyba duże ułatwienie