Matematyka.pl

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długośc a. Najdłuższa przekątna graniastosłupa jest cztery razy dłuższa od najkrótszej przekątnej podstawy. Oblicz objętość graniastosłupa.

Obliczając długość najkrótszej przekątnej podstawy przy użyciu długości krawędzi podstawy posłuż się twierdzeniem cosinusów. Dzięki temu wyrazisz też za pomocą tej długości długość przekątnej graniastosłupa. Dalej już powinno być z górki

\(\displaystyle{ V=P _{p}H}\) - wzór na objętość graniastosłupa
W podstawie mamy sześciokąt, który możemy podzielić na 6 trójkątów równobocznych, więc:
\(\displaystyle{ P _{p}=6P _{ \Delta}}\)
\(\displaystyle{ P _{ \Delta}= \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}}\) - wzór na pole trójkąta równoczocznego
Podstawiamy do pola na powierzchnię podstawy:
\(\displaystyle{ P _{p}=6 \cdot \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}= \frac{3 \sqrt{3} a ^{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ d _{1} =a \sqrt{3}}\) - wzór na krótszą przekatną sześciąkąta foremnego
\(\displaystyle{ d _{2}=2a}\) - wzór na dłuższą przekątną sześciokąta foremnego
Więc:
\(\displaystyle{ D=4d=4 \cdot a \sqrt{3}=4 \sqrt{3} a}\) - najdłuższa przekątna graniastosłupa
Wysokość H jest za razem długością krawędzi bocznej, więc korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ d _{2} ^{2}+H ^{2}=D ^{2}}\)
Wyznaczamy H:
\(\displaystyle{ H ^{2}=D ^{2}-d _{2} ^{2}}\)
\(\displaystyle{ H= \sqrt{D ^{2}-d _{2} ^{2}}}\)
Wstawiamy długości przekątnych:
\(\displaystyle{ H= \sqrt{(4 \sqrt{3} a) ^{2}-(2a)^{2}}= \sqrt{48a ^{2} -4a ^{2}}= \sqrt{44a ^{2} }=2 \sqrt{11}a}\)
I teraz wszystko wstawiamy do wzoru na objętość:
\(\displaystyle{ V= \frac{3 \sqrt{3} a ^{2} }{2} \cdot 2 \sqrt{11}a=3 \sqrt{33}a ^{3}}\)

Radi20, brawo. Czego nauczyła się myszka666 ?