Witam wszystkich jako że jest to mój pierwszy post . Mam problem z rozwiązaniem pewnego zadania. Oto jego treść.
Oblicz pole całkowite i objętość ostrosłupa czworokątnego w którym każda krawędź ma 6cm.
Zadanie próbowałem rozwiązać sam ale nici z tego.
Czy krawędź trójkąta który tworzy bok (ścianę) ostrosłupa także ma 6cm?
Jeśli tak, to powinienem wyliczyć wysokość ostrosłupa używając Pitagorasa, czyż nie?
W takim wypadku dzielę krawędź podstawy wynoszącą 6cm na 2 i wychodzi mi 3. Jest to przyprostostokątna.
Może mi ktoś podpowiedzieć jak to zapisać, bo prawdę mówiąc nie wiem od czego zacząć
Nie wiem czy założyłem temat w dobrym dziale. Jeśli nie, to przepraszam i proszę o przeniesienie do odpowiedniego.
Pozdrawiam, Daniel
Pole całkowite i objętość ostrosłupa czworokątnego.
-
Sherlock
- Użytkownik
- Posty: 2783
- Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 739 razy
Pole całkowite i objętość ostrosłupa czworokątnego.
Myślę, że poniższy rysunek pomoże
takdanio115 pisze:Czy krawędź trójkąta który tworzy bok (ścianę) ostrosłupa także ma 6cm?
takdanio115 pisze:Jeśli tak, to powinienem wyliczyć wysokość ostrosłupa używając Pitagorasa, czyż nie?
W takim wypadku dzielę krawędź podstawy wynoszącą 6cm na 2 i wychodzi mi 3. Jest to przyprostostokątna.
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2010, o 16:35 przez Sherlock, łącznie zmieniany 2 razy.
-
Radi20
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 3 wrz 2010, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 1 raz
Pole całkowite i objętość ostrosłupa czworokątnego.
\(\displaystyle{ P _{c}=P _{p}+P _{b}}\) - wzór na pole powierzchni całkowitej
\(\displaystyle{ a=6 cm}\)
\(\displaystyle{ P _{p}=a ^{2}}\) - pole powierzchni podstawy
Podstawiamy a do wzoru:
\(\displaystyle{ P _{p}=6 ^{2}= 36 cm ^{2}}\)
\(\displaystyle{ P _{b}=4P _{ \Delta}}\) - pole powierzchni bocznej
\(\displaystyle{ P _{ \Delta}= \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}}\) - pole trójkąta równobocznego, bo takie tworzą powierzchnię boczną
Wstawiamy a do wzoru na pole trójkąta:
\(\displaystyle{ P _{ \Delta}= \frac{6 ^{2} \sqrt{3} }{4}= \frac{36 \sqrt{3} }{4}= 9 \sqrt{3} cm ^{2}}\)
Wstawiamy pole powierzchni trójkąta to wzoru na pole powierzchni bocznej:
\(\displaystyle{ P _{b}=4 \cdot 9 \sqrt{3}=36 \sqrt{3} cm ^{2}}\)
Podstawiamy pole powierzchni bocznej i podstawy do wzoru na pole powierchni całkowitej:
\(\displaystyle{ P _{c}=36+36 \sqrt{3}=36(1+ \sqrt{3}) cm ^{2}}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}P _{p}H}\) - wzór na objętość ostrosłupa
Musimy obliczyć wysokość ostrosłupa, do tego posłuży nam długość połowy przekątnej podstawy oraz krawędź boczna:
\(\displaystyle{ d=a \sqrt{2}}\) - wzór na przekątną kwadratu
Podsatwiamy do wzoru a:
\(\displaystyle{ d=6 \sqrt{2} cm}\)
Aby obliczyć wysokość H korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{2}d) ^{2}+H ^{2}=a ^{2}}\)
Przekształcamy tak aby wyliczyć H:
\(\displaystyle{ H ^{2}=a ^{2}-(\frac{1}{2}d) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ H= \sqrt{a ^{2}-(\frac{1}{2}d) ^{2}}}\)
Podstawiamy wiadome:
\(\displaystyle{ H= \sqrt{6 ^{2}-(\frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{2} ) ^{2}}=\sqrt{36-18}= \sqrt{18}=3 \sqrt{2} cm}\)
Wstawiamy do wzoru na objętość, pole podstawy i wysokość:
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3 \sqrt{2}= 36 \sqrt{2} cm ^{3}}\)
\(\displaystyle{ a=6 cm}\)
\(\displaystyle{ P _{p}=a ^{2}}\) - pole powierzchni podstawy
Podstawiamy a do wzoru:
\(\displaystyle{ P _{p}=6 ^{2}= 36 cm ^{2}}\)
\(\displaystyle{ P _{b}=4P _{ \Delta}}\) - pole powierzchni bocznej
\(\displaystyle{ P _{ \Delta}= \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}}\) - pole trójkąta równobocznego, bo takie tworzą powierzchnię boczną
Wstawiamy a do wzoru na pole trójkąta:
\(\displaystyle{ P _{ \Delta}= \frac{6 ^{2} \sqrt{3} }{4}= \frac{36 \sqrt{3} }{4}= 9 \sqrt{3} cm ^{2}}\)
Wstawiamy pole powierzchni trójkąta to wzoru na pole powierzchni bocznej:
\(\displaystyle{ P _{b}=4 \cdot 9 \sqrt{3}=36 \sqrt{3} cm ^{2}}\)
Podstawiamy pole powierzchni bocznej i podstawy do wzoru na pole powierchni całkowitej:
\(\displaystyle{ P _{c}=36+36 \sqrt{3}=36(1+ \sqrt{3}) cm ^{2}}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}P _{p}H}\) - wzór na objętość ostrosłupa
Musimy obliczyć wysokość ostrosłupa, do tego posłuży nam długość połowy przekątnej podstawy oraz krawędź boczna:
\(\displaystyle{ d=a \sqrt{2}}\) - wzór na przekątną kwadratu
Podsatwiamy do wzoru a:
\(\displaystyle{ d=6 \sqrt{2} cm}\)
Aby obliczyć wysokość H korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{2}d) ^{2}+H ^{2}=a ^{2}}\)
Przekształcamy tak aby wyliczyć H:
\(\displaystyle{ H ^{2}=a ^{2}-(\frac{1}{2}d) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ H= \sqrt{a ^{2}-(\frac{1}{2}d) ^{2}}}\)
Podstawiamy wiadome:
\(\displaystyle{ H= \sqrt{6 ^{2}-(\frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{2} ) ^{2}}=\sqrt{36-18}= \sqrt{18}=3 \sqrt{2} cm}\)
Wstawiamy do wzoru na objętość, pole podstawy i wysokość:
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3 \sqrt{2}= 36 \sqrt{2} cm ^{3}}\)