Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego jest nachylona do podstawy, której krawędź ma długość 6, pod kątem 30°. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa, jeżeli jego podstawą jest:
a) trójkąt, b) czworokąt, c) sześciokąt.
Ostrosłup prawidłowy ppc i objętość
-
kamilo7557
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 20 lip 2010, o 11:31
- Płeć: Mężczyzna
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Ostrosłup prawidłowy ppc i objętość
W każdym przypadku wystarczy znaleźć długość wysokości \(\displaystyle{ H}\) ostrosłupa i długość \(\displaystyle{ h}\) wysokości ściany bocznej ostrosłupa.
Niech \(\displaystyle{ r}\) będzie długością odcinka zawartego w podstawie ostrosłupa, łączącego spodek wysokości \(\displaystyle{ h}\) ściany bocznej ze spodkiem wysokości \(\displaystyle{ H}\) ostrosłupa (jest to promień okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa).
Zauważ, że odcinki \(\displaystyle{ h, H, r}\) tworzą trójkąt prostokątny (o przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ h}\)), w którym kąt między \(\displaystyle{ h}\) i \(\displaystyle{ r}\) jest dany - ma miarę \(\displaystyle{ 30^o}\).
Z definicji kosinusa i tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy odpowiednio: \(\displaystyle{ r=h\cos 30^o=\frac{h\sqrt{3}}{2}, H=r\tg 30^o=\frac{r\sqrt{3}}{3}}\).
Należy tylko najpierw wyznaczyć \(\displaystyle{ r}\) - znając jednak długość krawędzi podstawy łatwo wyznaczyć długość promienia okręgu opisanego na niej.
Niech \(\displaystyle{ r}\) będzie długością odcinka zawartego w podstawie ostrosłupa, łączącego spodek wysokości \(\displaystyle{ h}\) ściany bocznej ze spodkiem wysokości \(\displaystyle{ H}\) ostrosłupa (jest to promień okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa).
Zauważ, że odcinki \(\displaystyle{ h, H, r}\) tworzą trójkąt prostokątny (o przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ h}\)), w którym kąt między \(\displaystyle{ h}\) i \(\displaystyle{ r}\) jest dany - ma miarę \(\displaystyle{ 30^o}\).
Z definicji kosinusa i tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy odpowiednio: \(\displaystyle{ r=h\cos 30^o=\frac{h\sqrt{3}}{2}, H=r\tg 30^o=\frac{r\sqrt{3}}{3}}\).
Należy tylko najpierw wyznaczyć \(\displaystyle{ r}\) - znając jednak długość krawędzi podstawy łatwo wyznaczyć długość promienia okręgu opisanego na niej.