Oblicz objętość.

[robertm19]

Obliczyć objętość ostrosłupa, którego podstawą jest trójkąt prostokątny, a krawędzie boczne są równej długości i są nachylone do podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\).

[lukasz1804]

Do rozwiązania zadania potrzeba jeszcze jednej danej (długości dowolnego odcinka w ostrosłupie, np. długości krawędzi podstawy lub krawędzi bocznej).

[robertm19]

Długość krawędzi bocznej wynosi l.

[bakala12]

Niech spodek wysokości to S a wierzchołki podstawy A,B,C,(kąt prosty przy A) wierzchołek ostrosłupa W
Wtedy trójkąty WSA, WSB, WSC, są prostokątne, a ich przeciwprostokątną jest l. Ponadto Kąty WAS, WBS, WCS, mają miarę równą \(\displaystyle{ \alpha}\). Wysokość oznaczamy H.
Wtedy \(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{H}{l} \Rightarrow H=l \cdot sin \alpha}\).
Skoro \(\displaystyle{ AW=BW=CW}\) to Równe są odcinki \(\displaystyle{ SA=SB=SC}\). Teraz zauważamy że skoro \(\displaystyle{ SA=SB=SC}\) to S jest środkiem okręgu opisanego na podstawie czyli S jest środkiem przeciwprostokątnej podstawy, czyli \(\displaystyle{ SB=SC}\) i mamy:
\(\displaystyle{ \frac{H}{SB}=tg \alpha \Rightarrow SB= \frac{H}{tg \alpha } = \frac{l \cdot sin \alpha }{tg \alpha } =l \cdot cos \alpha}\).
Czy ja to robię dobrze? W tym miejscu utknąłem i nie mogę policzyć pola podstawy

[robertm19]

Ja też utknąłem. Dlatego piszę, w odpowiedzi mam wynik \(\displaystyle{ \frac{1}{3}l^3cos^2 \alpha sin \alpha}\).
Ale to jest możliwe tylko wtedy, gdy trójkąt jest równoramienny. Myślę, że zadanie jest źle sformułowane w książce.

[bakala12]

Gdyby trójkąt był równoramienny to symetralna byłaby jednocześnie wysokości podstawy i miałaby długość \(\displaystyle{ l \cdot cos \alpha}\)
Wtedy pole podstawy to \(\displaystyle{ l^{2}cos^{2} \alpha}\),
a objętość \(\displaystyle{ \frac{1}{3}l^{3}cos^{2} \alpha sin \alpha}\)