Wysokość stożka

xsewx · Post autor: **xsewx** » 4 sie 2010, o 14:30

Objętość stożka wynosi \(\displaystyle{ 1000\pi}\), a tworząca tworzy z podstawą kąt \(\displaystyle{ 30^o}\). Oblicz wysokość tego stożka.

Quaerens · Post autor: **Quaerens** » 4 sie 2010, o 15:50

Szkic, oznaczenia, funkcje trygonometryczne i myślenie. To potrzebne narzędzia.

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 4 sie 2010, o 18:14

Jeśli nie znasz funkcji trygonometrycznych to da się policzyć bez nich (ale używając ich jest łatwiej i szybciej- po to je wymyślono)
Sposób jest następujący
1. Rysunek pomocniczy
2. Dostrzerzenie trójkąta prostokątnego o kątach 90, 60, 30 stopni (połowa równobocznego) i bokach tworząca, wysokość stożka, promień podstawy.
3. Najważniejszy moment. Wykorzystanie własności trójkąta prostokątnego o kątach 90, 60, 30 stopni i obliczenie wszystkich boków trójkąta za pomocą jednej zmiennej (najlepiej wysokości, bo ją mamy obliczyć)
Wysokość oznaczmy \(\displaystyle{ H}\). Wtedy \(\displaystyle{ r= H \sqrt{3}}\)
4. Podstawiamy do wzoru na objętość
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \pi (H \sqrt{3} )^{2} \cdot H=1000 \pi}\)
I rozwiązujemy to równanie
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot 3H ^{2} \cdot H=1000}\)
\(\displaystyle{ H ^{3} =1000}\)
\(\displaystyle{ H=10}\)
I mamy wynik