punkty wspólne prostej i sfery, porośba o weryfikację
: 13 lip 2010, o 03:23
Witam, być może późna godzina sprawia, że nie dostrzegam prawdopodobnie oczywistego błędu, jeżeli ktoś miałby chwilę czasu prosiłbym o sprawdzenie, z góry dziękuje:
Potrzebuje wyliczyć współrzędne dwóch punktów prostej wspólnych z powierzchnią sfery. W konkretnym wypadku nie muszę sprawdzać czy prosta przechodzi przez sferę gdyż zawsze przechodzi ona przez jej środek. Wszystkie parametry prostej jak i sfery są oczywiście znane.
Wzór dla sfery
\(\displaystyle{ (x - i)^2 + (y - j)^2 + (z -k) ^ 2 = R^2}\)
Prosta
\(\displaystyle{ x = x_0 + at\\
y = y_0 + bt\\
z = z_0 + ct}\)
Wykorzystuje równania prostej i podstawiam do równania sfery, dąże do wyliczenia t
\(\displaystyle{ (x_0 + at - i)^2 + (y_0 + bt - j)^2 + (z_0 + ct -k)^2 = R^2}\)
Wzory skróconego mnożenia
\(\displaystyle{ x_0^2 + a^2 t^2 + i^2 + 2x_0at - 2ati - 2x_0i + \\
y_0^2 + b^2 t^2 + j^2 + 2y_0bt - 2btj - 2y_0j + \\
z_0^2 + c^2 t^2 + k^2 + 2z_0ct - 2ctk - 2z_0k = R^2}\)
Porządkowanie
\(\displaystyle{ t^2 (a^2 + b^2 + c^2) + \\t * 2(a(x_0 - i) + b(y_0 - j) + c (z_0 - k)) + \\x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 + i^2 + j^2 + k^2 - 2 (x_0i + y_0j + z_0k) - R^2\\= 0}\)
Z ostatniego widać wyraźnie, że mamy doczynienia z równaniem kwadratowym, definiujemy A,B i C
\(\displaystyle{ A = (a^2 + b^2 + c^2)\\B = 2(a(x_0 - i) + b(y_0 - j) + c (z_0 - k))\\C = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 + i^2 + j^2 + k^2 - 2 (x_0i + y_0j + z_0k) - R^2}\)
Już dla porządku aby wszystko się tu znalazło, wyznaczamy t1 oraz t2
\(\displaystyle{ t_1 = \frac{-B + \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}\\t_2 = \frac{-B - \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}}\)
Powyższe t1 i t2 podstawiam pod miejsce t do wzoru prostej i otrzymuje dwie współrzędne punktów. Jeszcze raz z góry dziękuje za rzucenie okiem.
Potrzebuje wyliczyć współrzędne dwóch punktów prostej wspólnych z powierzchnią sfery. W konkretnym wypadku nie muszę sprawdzać czy prosta przechodzi przez sferę gdyż zawsze przechodzi ona przez jej środek. Wszystkie parametry prostej jak i sfery są oczywiście znane.
Wzór dla sfery
\(\displaystyle{ (x - i)^2 + (y - j)^2 + (z -k) ^ 2 = R^2}\)
Prosta
\(\displaystyle{ x = x_0 + at\\
y = y_0 + bt\\
z = z_0 + ct}\)
Wykorzystuje równania prostej i podstawiam do równania sfery, dąże do wyliczenia t
\(\displaystyle{ (x_0 + at - i)^2 + (y_0 + bt - j)^2 + (z_0 + ct -k)^2 = R^2}\)
Wzory skróconego mnożenia
\(\displaystyle{ x_0^2 + a^2 t^2 + i^2 + 2x_0at - 2ati - 2x_0i + \\
y_0^2 + b^2 t^2 + j^2 + 2y_0bt - 2btj - 2y_0j + \\
z_0^2 + c^2 t^2 + k^2 + 2z_0ct - 2ctk - 2z_0k = R^2}\)
Porządkowanie
\(\displaystyle{ t^2 (a^2 + b^2 + c^2) + \\t * 2(a(x_0 - i) + b(y_0 - j) + c (z_0 - k)) + \\x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 + i^2 + j^2 + k^2 - 2 (x_0i + y_0j + z_0k) - R^2\\= 0}\)
Z ostatniego widać wyraźnie, że mamy doczynienia z równaniem kwadratowym, definiujemy A,B i C
\(\displaystyle{ A = (a^2 + b^2 + c^2)\\B = 2(a(x_0 - i) + b(y_0 - j) + c (z_0 - k))\\C = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 + i^2 + j^2 + k^2 - 2 (x_0i + y_0j + z_0k) - R^2}\)
Już dla porządku aby wszystko się tu znalazło, wyznaczamy t1 oraz t2
\(\displaystyle{ t_1 = \frac{-B + \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}\\t_2 = \frac{-B - \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}}\)
Powyższe t1 i t2 podstawiam pod miejsce t do wzoru prostej i otrzymuje dwie współrzędne punktów. Jeszcze raz z góry dziękuje za rzucenie okiem.