Kula i stożek

[Glo]

Kulę metalową o promieniu R przetopiono na stożek, którego powierzchnia boczna jest 2 razy większa od pola podstawy. Znajdź wysokość stożka.

Proszę o pomoc . Mile widziana wnikliwa analiza zadania, żebym mógł robić podobne sam. Z góry dzięki!

[Justka]

Zaczniemy od końca ;p Wiemy, że \(\displaystyle{ \pi rl=2 \pi r^2}\), czyli \(\displaystyle{ l=2r}\). Stąd wstępnie obliczymy wysokość stożka \(\displaystyle{ h=\sqrt{l^2-r^2}}\), czyli

\(\displaystyle{ h=\sqrt{4r^2-r^2}=r\sqrt{3}}\)

Korzystamy teraz z pierwszej informacji, która posiada jedyną daną w tym zadaniu (czyli promień kuli R). Kulę przetopiono na stożek, więc \(\displaystyle{ V_k=V_s}\):

\(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi R^3= \frac{1}{3}\pi r^2 h=\frac{1}{3}\pi r^3\sqrt{3} \ \ \Rightarrow \ \ r=R\sqrt[3]{\frac{4}{\sqrt{3}}}}\)

zatem wysokość stożka jest równa:

\(\displaystyle{ h=r\sqrt{3}= R\sqrt[3]{12}}\)

mały edit.

[Glo]

A mogłabyś jeszcze powiedzieć, gdzie podziało się 'h' w tym równaniu?
\(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi R^3= \frac{1}{3}\pi r^2 \ \ \Rightarrow \ \ r=2\sqrt{R^3}}\)
Bo skoro porównujemy objętości, to

\(\displaystyle{ \frac{1}{3}\pi r^2}\) <-- tutaj chyba brakuje h? A to nieco zmienia chyba postać rzeczy?

[Justka]

Jasne, że brakowało h... poprawiłam nieco poprzedni post ;p