jak obliczyc objętosc wycinka walca

[lucekprucek]

Witam! Zacznę od tego że nie jest to zadanie ze szkoły tylko problemik w gospodarstwie domowym.
Jest zbiornik w kształcie walca, leżący. Znane są jego wymiary: średnica i długość. W tym zbiorniku jest jakaś tam ilość paliwa, mierzone jest to miarką w centymetrach. Jak obliczyć ile jest paliwa w litrach?
Wymiary walca to 4 metry długi i srednica 1,5 metra ale oczywiscie dobrze by było symbolami żeby był uniwersalny wzór.
Będę bardzo wdzięczny za pomoc.

[anna_]

\(\displaystyle{ r=7,5 dm\\
H=40 dm}\)
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość paliwa w decymetrach (od dna)

Liczymy
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{8h^2-120h+225}{225}}\)
i odczytujemy kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) z tablic

Jeżeli paliwa jest mniej niż połowa zbiornika \(\displaystyle{ (h<7,5 dm)}\), wtedy ilość paliwa to:
\(\displaystyle{ V= (\frac{\alpha \cdot 3,14 \cdot 7,5^2}{360}- \frac{7,5^2 \cdot sin\alpha}{2}) \cdot 40}\)

Jeżeli paliwa jest wiecej niż połowa zbiornika \(\displaystyle{ (h>7,5 dm)}\), wtedy ilość paliwa to:
\(\displaystyle{ V= (3,14 \cdot 7,5^2-\frac{\alpha \cdot 3,14 \cdot 7,5^2}{360}+\frac{7,5^2 \cdot sin\alpha}{2}) \cdot 40}\)

Nie da się tego policzyć bez odczytywania kąta \(\displaystyle{ \alpha}\). Mogę ewentualnie podać trochę inny wzór bez \(\displaystyle{ sin\alpha}\)

[lucekprucek]

Dzięki, dzięki, dzięki. O to chodziło.
Rozumiem że po każdym pomiarze w centymetrach przerabiam na decymetry, obliczam kąt i podstawiam do wzoru na V.
Jak masz chwilkę to wrzuć ten drugi wzór, może się przyda.
I tak z ciekawości jeszcze zapytam skad bierze sie ten wzór na cosinus?

[anna_]

Wynik ma być w litrach, więc najlepiej, żeby wymiary dane były w decymetrach.

AU

4c498c39fe8ed6c1m.png (10.84 KiB) Przejrzano 2696 razy

[/url]

Z Pitagorasa dla trojkąta ABO
\(\displaystyle{ (| \frac{1}{2}AB|^2+(r-h)^2=r^2}\)
\(\displaystyle{ (| \frac{1}{2}AB|^2+(7,5-h)^2=7,5^2}\)
\(\displaystyle{ |AB|=2 \sqrt{h(15-h)}}\)

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABO
\(\displaystyle{ |AB|^2=r^2+r^2-2r \cdot r \cdot cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ (2 \sqrt{h(15-h)})^2=7,5^2+7,5^2-2 \cdot 7,5 \cdot 7,5 \cdot cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{8h^2-120h+225}{225}}\)

Ten 'kawałek' wzoru z \(\displaystyle{ sin\alpha}\), to wzór na pole tego trójkąta na rysunku.
Można policzyć go również ze wzoru:
\(\displaystyle{ P_t= \frac{|AB| \cdot (r-h)}{2}}\)
\(\displaystyle{ P_t= \frac{2 \sqrt{h(15-h)} \cdot (7,5-h)}{2}}\)
\(\displaystyle{ P_t= (7,5-h)\sqrt{h(15-h)}}\)

Czyli pierwszy wzór można zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ V= \left(\frac{\alpha \cdot 3,14 \cdot 7,5^2}{360}- (7,5-h)\sqrt{h(15-h) \right) \cdot 40}\)
a drugi w postaci:
\(\displaystyle{ V= \left(3,14 \cdot 7,5^2-\frac{\alpha \cdot 3,14 \cdot 7,5^2}{360}+(7,5-h)\sqrt{h(15-h)}\right) \cdot 40}\)

[lucekprucek]

O ile dobrze rozumuję to w tych wzorach na V wystarczy zamiast 7,5 wpisać r, a zamiast 40 wpisać H i będą uniwersalne do walców o innych wymiarach.
A 360 to stopnie ale w tym przypadku to po prostu liczba, tak?
No i jeszcze mam prośbę o podanie tego wzoru na cosinus alfa w formie uniwersalnej na symbolach, próbowałem sam to sklecić ale mi nie wyszło.
Aha, w tych drugich wzorach kąt alfa wpisujemu po prostu jako liczbę, tak?
Z góry dziękuję za poswięcony czas.

[anna_]

O ile dobrze rozumuję to w tych wzorach na V wystarczy zamiast 7,5 wpisać r, a zamiast 40 wpisać H i będą uniwersalne do walców o innych wymiarach.

To nie jest dokładnie tak jak piszesz.

A 360 to stopnie ale w tym przypadku to po prostu liczba, tak?

360 i \(\displaystyle{ \alpha}\) to stopnie, które się skracają, więc traktuje się je jako liczby.

Aha, w tych drugich wzorach kąt alfa wpisujemu po prostu jako liczbę, tak?

Tak.


Wzory uniwersalne:
\(\displaystyle{ r}\) - promień
\(\displaystyle{ H}\) - długość zbiornika
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość paliwa (od dna)
(wszystkie wymiary w decymetrach, wtedy wynik będzie w litrach)

\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{2h^2 - 4hr + r^2}{r^2}}\)

Czyli pierwszy wzór można zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ V= \left(\frac{\alpha \cdot 3,14 \cdot r^2}{360}- (r - h) \sqrt{h(2r - h)} )\right) \cdot H}\)
a drugi w postaci:
\(\displaystyle{ V= \left(3,14 \cdot r^2-\frac{\alpha \cdot 3,14 \cdot r^2}{360}+(r - h) \sqrt{h(2r - h)}\right) \cdot H}\)

[florek177]

Mam to policzone w excelu, z dokładnością h = 2,0 cm - co daje dokładność ok. 60 -80l na różnych wysokościach. wystarczy wyskalować linijkę. Robiłem to kiedyś komuś.

jeżeli jest to aktualne, to mogę przeliczyć dla innych parametrów zbiornika.

[anna_]

Florek, sprawdziłeś może czy się gdzieś nie pomyliłam?

[lucekprucek]

No właśnie dobrze ze zapytałem odnośnie tych uniwersalnych wzorów bo bym wyliczył głupoty.
florek177, aktualne jest ale wymiary dokładne będe miał za jakiś czas, może za miesiąc, bo paliwko się kończy i przy okazji będzie czyszczenie zbiornika i wtedy go zmierzę zeby było jak najdokładniej.

[miska0824]

1.Naczynie o pojemności 1 litra ma kształt walca,którego wysokość H jest 1.5razy wieksza od średnicy podstawy. oblicz promień podstawy walca.
2.Wyznacz miarę kąta rozwarcia stożka, jeśli stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy stożka jest równy 2.

Będę bardzo wdzięczna za pomoc. Lecz potrzebuję tego na "wczoraj":))

[Majeskas]

1. \(\displaystyle{ V=1l=1dm^3=1000cm^3}\)

\(\displaystyle{ H=1,5r}\)

\(\displaystyle{ V=H \pi r^2}\)

\(\displaystyle{ 1,5 \pi r^3=1000}\)

Rozwiązać równanie.-- 22 czerwca 2010, 14:44 --2.

\(\displaystyle{ \frac{S_b}{S_p}=2}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \pi rl}{ \pi r^2}=2}\)

Z tego stosunku otrzymasz związek między r i l, będziesz mogła wyrazić jedno za pomocą drugiego.

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny o ramionach: l i podstawie 2r.

Kąt rozwarcia stożka jest kątem między równymi ramionami.

Z twierdzenia cosinusów w tym trójkącie jesteś w stanie wyznaczyć jego cosinus za pomocą r i l. Jak podstawisz z poprzednich danych związek między nimi, wyrażenie uprości się, literki znikną i zostanie liczba.

Na podstawie cosinusa kąta rozwarcia będziesz w stanie określić jego (przybliżoną bądź dokładną) rozwartość.

[miska0824]

Dzieki wielkie a te zadania to nie dla mnie tylko dla starszej koleżanki:))
ale i tak dzięki:D

[Majeskas]

Dopiero teraz zwróciłem uwagę, że w tym drugim zadaniu wychodzi związek: l=2r, co oznacza, że trójkąt będący przekrojem osiowym jest trójkątem równobocznym i zadanie jest 2 razy łatwiejsze niż mogłoby być. Żadne twierdzenie cosinusów nie jest potrzebne.

[lucekprucek]

Mam to policzone w excelu, z dokładnością h = 2,0 cm - co daje dokładność ok. 60 -80l na różnych wysokościach. wystarczy wyskalować linijkę. Robiłem to kiedyś komuś.

jeżeli jest to aktualne, to mogę przeliczyć dla innych parametrów zbiornika.

Odświeżam.
Dokładne wymiary to 4,10m długość i 1,80m średnica.
Smok jest 15 cm od dna.

Ciekawe bo wychodzi mi że smok nie pociągnie około 900 L ale wynik wychodzi...ujemny.
Chyba coś pochrzaniłem. Florek pomóż.

[florek177]

proponuję wzór - od pola wycinka koła odejmujesz pole trójkata ( nad cieciwą ):
r = promień zbiornika; h - wysokość cieczy;

\(\displaystyle{ P = \frac{\pi \, r^{2} \, arccos(1 - \frac{h}{r})}{180^{o}} - ( r - h) \, \sqrt{2hr - h^{2}}}\);

jak pomnożysz to przez długość zbiornika to otrzymasz ilość paliwa w zadołowanym zbiorniku ( jak wielkości przyjmiesz w decymetrachy to wynik otrzymasz w litrach ).