Krawędź czworościanu

[Szymek26]

Czworościan foremny ma objętość równą 2pierw z 2. Jaka długość ma krawędź tego czworościanu.
Rozwiązanie z tyłu książki:2 pierw sześcienne z 3
Prosiłbym o rozwiązanie bez wykorzystania wzoru na objętość tej bryły.

[anna_]

Prosiłbym o rozwiązanie bez wykorzystania wzoru na objętość tej bryły.

To chyba żart

[Szymek26]

To powiedz przynajmiej jak dojść do tego wzoru bo mi nauczycielka nie uzna.

[Afish]

Przyjmij za bok \(\displaystyle{ x}\). Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa możesz wyprowadzić wzór na wysokość, a wtedy objętość nie jest problemem. Pamiętaj, że każda ściana jest trójkątem równobocznym.

[Szymek26]

Nie jest problemem? Czyli jak bedzie wtedy wyglądał wzór na objętość? pole trójkąta*h/3?

[anna_]

\(\displaystyle{ a}\) - krawędź ostrosłupa (podstawy także)
\(\displaystyle{ h_p= \frac{a \sqrt{3} }{2}}\) - wysokość podstawy
\(\displaystyle{ P_p= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}}\) - pole podstawy
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość ostrosłupa

Wyznaczam \(\displaystyle{ H}\)
\(\displaystyle{ H^2=a^2-( \frac{2}{3}h_p )^2}\)
\(\displaystyle{ H^2=a^2-( \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2})^2}\)
\(\displaystyle{ H^2=a^2-( \frac{a \sqrt{3} }{3})^2}\)
\(\displaystyle{ H^2=a^2- \frac{a^2}{3}}\)
\(\displaystyle{ H^2= \frac{2}{3} a^2}\)
\(\displaystyle{ H= \frac{a \sqrt{6} }{3}}\)

Wyznaczam \(\displaystyle{ V}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}P_pH}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot \frac{a \sqrt{6} }{3}}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{a^3 \sqrt{2} }{12}}\)