Trapez-zadanko na dziś
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 25 paź 2006, o 10:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
Trapez-zadanko na dziś
Trapez,którego podstawy mają długość 16 cm,10cm ,a kąt 60 stopni równoramienny obraca się wokół dłuższej podstawy ,krótszej podstawy .Oblicz pole objętości każdej podstawy brył.
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 24 paź 2006, o 20:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 8 razy
Trapez-zadanko na dziś
Trochę skótowo napisałaś. Mam nadzieję, że dobrze zrozumiałam o co chodzi w zadaniu.
Spróbuję wytłumaczyć bez rysunków.
Zakładamy, że a=16cm - dłuższa podstawa trapezu, b=10cm - krótsza podstawa trapezu, h - wysokość trapezu, α=60° - kąt między dłuższą podstawą a ramieniem, x=(a-b)/2=6/2=3 - kawałek podstawy a, który zostanie z boku jeśli zaznaczymy na rysunku wysokość trapezu.
A) Obracamy wokół dłuższej podstawy
W tym przypadku objętość powstałej figury możemy policzyć jako sumę pól dwóch małych stożków i jednego walca.
\(\displaystyle{ V=2*V_{s}+V_{w}}\)
\(\displaystyle{ V_{s}=\frac{1}{3}*\pi*r^{2}*H}\)
gdzie r oznacza promień podstawy stożka a H jego wysokość zatem u nas r=h a H=x.
h możemy wyznaczyć z funkcji trygonometrycznych:
\(\displaystyle{ \frac{h}{x}=tg60}\)°
zatem otrzymujemy \(\displaystyle{ h=3\sqrt{3}}\).
Po postawieniu do wzoru otrzymamy \(\displaystyle{ V_{s}=27\pi}\);
Pozostaje obliczenie objętości walca.
Wzór na objętość walca to \(\displaystyle{ V_{w}=\pi*r^{2}*H}\)
gdzie r to promień podstawy walca a H to jego wysokość, zatem podobnie jak przy liczeniu objętości stożka mamy r=h, natomiast H=b.
To podstawiamy do wzoru na objętość walca i otrzymujemy \(\displaystyle{ V_{w}=270\pi}\);
Zatem wypadkowa objętość utworzonej przez obrót figury jest sumą
\(\displaystyle{ V=2*V_{s}+V_{w}=2*27\pi+270\pi=324\pi}\)
B) obracamy wokół krótszej podstawy
Tu sytuacja jest podobna. Tylko do wyznaczenia objętości powstałej bryły będziemy odejmować od objętości walca dwie objętości małych stożków
Do wyznaczenia objętości walca korzystamy z takiego samego wzrou jak w pkt.A) z tą różnicą, że tu H=a, a nie jak poprzednio b.
Zatem po podstawieniu otrzymujemy \(\displaystyle{ V_{w}=432\pi}\);
Objętość stożka jest taka sama jak w pkt. A), bo nie zmienia się ani r ani H czyli r=h, a H=x.
\(\displaystyle{ V_{s}=27\pi}\);
Zatem wypadkowa objętość otrzymanej przez obrót figury wynosi
\(\displaystyle{ V=V_{w}+2*V_{s}=432\pi+2*27\pi=372\pi}\)
Ale się napisałam. Mam nadzieję, że w miarę zrozumiale;)
Spróbuję wytłumaczyć bez rysunków.
Zakładamy, że a=16cm - dłuższa podstawa trapezu, b=10cm - krótsza podstawa trapezu, h - wysokość trapezu, α=60° - kąt między dłuższą podstawą a ramieniem, x=(a-b)/2=6/2=3 - kawałek podstawy a, który zostanie z boku jeśli zaznaczymy na rysunku wysokość trapezu.
A) Obracamy wokół dłuższej podstawy
W tym przypadku objętość powstałej figury możemy policzyć jako sumę pól dwóch małych stożków i jednego walca.
\(\displaystyle{ V=2*V_{s}+V_{w}}\)
\(\displaystyle{ V_{s}=\frac{1}{3}*\pi*r^{2}*H}\)
gdzie r oznacza promień podstawy stożka a H jego wysokość zatem u nas r=h a H=x.
h możemy wyznaczyć z funkcji trygonometrycznych:
\(\displaystyle{ \frac{h}{x}=tg60}\)°
zatem otrzymujemy \(\displaystyle{ h=3\sqrt{3}}\).
Po postawieniu do wzoru otrzymamy \(\displaystyle{ V_{s}=27\pi}\);
Pozostaje obliczenie objętości walca.
Wzór na objętość walca to \(\displaystyle{ V_{w}=\pi*r^{2}*H}\)
gdzie r to promień podstawy walca a H to jego wysokość, zatem podobnie jak przy liczeniu objętości stożka mamy r=h, natomiast H=b.
To podstawiamy do wzoru na objętość walca i otrzymujemy \(\displaystyle{ V_{w}=270\pi}\);
Zatem wypadkowa objętość utworzonej przez obrót figury jest sumą
\(\displaystyle{ V=2*V_{s}+V_{w}=2*27\pi+270\pi=324\pi}\)
B) obracamy wokół krótszej podstawy
Tu sytuacja jest podobna. Tylko do wyznaczenia objętości powstałej bryły będziemy odejmować od objętości walca dwie objętości małych stożków
Do wyznaczenia objętości walca korzystamy z takiego samego wzrou jak w pkt.A) z tą różnicą, że tu H=a, a nie jak poprzednio b.
Zatem po podstawieniu otrzymujemy \(\displaystyle{ V_{w}=432\pi}\);
Objętość stożka jest taka sama jak w pkt. A), bo nie zmienia się ani r ani H czyli r=h, a H=x.
\(\displaystyle{ V_{s}=27\pi}\);
Zatem wypadkowa objętość otrzymanej przez obrót figury wynosi
\(\displaystyle{ V=V_{w}+2*V_{s}=432\pi+2*27\pi=372\pi}\)
Ale się napisałam. Mam nadzieję, że w miarę zrozumiale;)