Największa objętość walca

[Inkognito]

Ze wszestkich walców wpisanych do kuli znaleźć ten którego objętość najwieksza.

[anna_]

\(\displaystyle{ R}\) - promień kuli
\(\displaystyle{ r}\) - promień podstawy walca
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość walca

\(\displaystyle{ (2r)^2+H^2=(2R)^2}\)
\(\displaystyle{ 4r^2+H^2=4R^2}\)
\(\displaystyle{ 4r^2=4R^2-H^2}\)
\(\displaystyle{ r^2= \frac{4R^2-H^2}{4}}\)

\(\displaystyle{ V= \pi r^2H}\)
\(\displaystyle{ V(H)= \pi \frac{4R^2-H^2}{4}H}\)
\(\displaystyle{ V(H)= HR^2 \pi-\frac{H^3}{4}\pi}\)

\(\displaystyle{ V'(H)=R^2 \pi- \frac{3}{4}H^2\pi}\)
\(\displaystyle{ R^2 \pi- \frac{3}{4}H^2\pi=0}\)
\(\displaystyle{ R^2- \frac{3}{4}H^2=0}\)
\(\displaystyle{ H= \frac{2 \sqrt{3} }{3} R}\)

\(\displaystyle{ r^2= \frac{4R^2-H^2}{4}}\)
\(\displaystyle{ r^2= \frac{4R^2-(\frac{2 \sqrt{3} }{3} R)^2}{4}}\)
\(\displaystyle{ r^2= \frac{2R^2}{3}}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{ \sqrt{6} }{3}R}\)

Największą objętość ma walec, którego \(\displaystyle{ H= \frac{2 \sqrt{3} }{3} R}\) i \(\displaystyle{ r= \frac{ \sqrt{6} }{3}R}\)