Podstawą ostrosłupa o wysokości h jest trójkąt równoboczny. Oblicz objętość ostrosłupa wiedząc, że wszystkie krawędzie boczne nachylone są do płaszczyzny podstawy pod kątem 'alfa'.
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, którego długości przyprostokątnych są równe a. Długość krawędzi bocznych jest równa a. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość stanowi 2/3 długość krawędzi podstawy. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe 96 cm. Oblicz objętość ostrosłupa.
bardzo proszę o dokładnie i jasne rozwiązanie zadania. mam wzory, lecz nie wiem jak się za to zabrać. potrzebuję krok po kroku to przeanalizować, ale najpierw muszę mieć zrobione dobrze zadania. proszę o pomoc
W takich zadaniach z ostrosłupem prawidłowym, robimy zasadniczo dwie-trzy rzeczy prowadzące do rozwiązania:
1. Rysunek
2. Szukamy trójkątów prostokątnych
3. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa lub definicje funkcji trygonometrycznych
Pierwsze zadanie:
Z rysunkiem, mam nadzieję, poradzisz sobie sama.
Zauważ teraz trójkąt prostokątny składający się z: wysokości h ostrosłupa, dwóch trzecich wysokości podstawy oraz krawędzi bocznej ostrosłupa. Z definicji tangensa w tym trójkącie prostokątnym: \(\displaystyle{ tg\alpha}\) to stosunek wysokości h (na przeciw kąta) przez długość dwóch trzecich wysokości podstawy (przy kącie). Stąd wyliczasz, że wysokość podstawy jest równa \(\displaystyle{ \frac{3}{2} \cdot \frac{h}{tg\alfa}}\). Stąd bok podstawy to \(\displaystyle{ \sqrt{3}\cdot \frac{h}{tg\alfa}}\) (ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego). Masz zatem wszystkie boki podstawy i wysokość ostrosłupa, co pozwala wyliczyć jego objętość.
Zadanie drugie:
Tutaj rysunek załatwia większość zadania.
Zauważ, że rzutem prostokątnym wierzchołka ostrosłupa na płaszczyznę podstawy jest środek przeciwprostokątnej podstawy. To jest chyba kluczowe w tym zadaniu.
Zadanie trzecie:
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ a}\) długość krawędzi podstawy. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ A, B, C, D}\) wierzchołki podstawy, przez \(\displaystyle{ S}\) wierzchołek ostrosłupa, przez \(\displaystyle{ H}\) spodek wysokości ostrosłupa, a przez \(\displaystyle{ M}\) środek boku \(\displaystyle{ AB}\).
Teraz: \(\displaystyle{ a=\left| AB\right| \\ \left| SH\right| = \frac{2}{3}a \\ \left| AH\right| = a\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \left| HM\right| = \frac{a}{2}}\)
To wiadomo od razu. Teraz, z twierdzenia Pitagorasa obliczamy |SM| \(\displaystyle{ \left| SM\right| = \sqrt{SH^2+HM^2} = a\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{4}} = \frac{a}{6}\sqrt{17}}\)
Obliczyliśmy SM, czyli wysokość ściany bocznej. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to \(\displaystyle{ a^2(\frac{\sqrt{17}+3}{3}) = 96cm^2}\)
Z tego obliczasz \(\displaystyle{ a}\), a mając \(\displaystyle{ a}\) obliczasz już co tylko zechcesz.
