W sześcianie ABCDA'B'C'D' punk K jest środkiem ściany A'B'C'D' oraz pkt. L jest środkiem ściany ADD'A'. Krawędź sześcianu ma długość a. Wyznaczyć obwód trójkąta BKL. Która z dwóch części, na jakie dzieli sześcian płaszczyzna BKL ma większą objętość?
Obw. obliczyłem i wyszło mi:
\(\displaystyle{ l= \frac{a(2 \sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}}\)
Jeśli chodzi o drugie pytanie to nie wiem nawet jak to ma wyglądać, więc prosiłbym o rysunek.
I jeszcze jedno, są programy do tworzenia rysunków brył w trójwymiarze? (stworzonych dla potrzeb edukacyjnych)
W sześcianie ABCDA'B'C'D' punk K jest...
-
Mistrz
- Użytkownik
- Posty: 637
- Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 135 razy
W sześcianie ABCDA'B'C'D' punk K jest...
Ech... Prościej byłoby, gdybym miał skaner 
Przyjmijmy oznaczenia:
E - punkt przecięcia prostej KL i płaszczyzny ABC
F - punkt przecięcia prostych AD i BE
G - punkt przecięcia prostych FL i A'D'
H - punkt przecięcia prostych GK i B'C'
Wystarczy.
Uzyskaliśmy czworokąt BFGH, który jest przekrojem danego sześcianu płaszczyzną BKL i wszystkie wierzchołki i krawędzie tego czworokąta leżą na ścianach danego sześcianu.
Można obliczyć, posiłkując się twierdzeniem Talesa, że \(\displaystyle{ AF=\frac{a}{3}}\). Również \(\displaystyle{ GD'=HB'=\frac{a}{3}=AF}\).
Dalej, oznaczmy przez I i J rzuty prostokątne odpowiednio punktów G i H na płaszczyznę ABC.
Zauważmy, że graniastosłup o podstawach IJCD oraz GHC'D' ma objętość równą dokładnie połowie objętości sześcianu.
Jedna z brył odcięta od tego sześcianu płaszczyzną BFGH (czyli BKL) jest sumą tego graniastosłupa i pewnej bryły o dodatniej objętości (konkretnie, bryły FIJBHG), ma zatem objętość większą niż połowa sześcianu, a więc i większą niż ta druga z brył odciętych płaszczyzną BKL.
Przyjmijmy oznaczenia:
E - punkt przecięcia prostej KL i płaszczyzny ABC
F - punkt przecięcia prostych AD i BE
G - punkt przecięcia prostych FL i A'D'
H - punkt przecięcia prostych GK i B'C'
Wystarczy.
Uzyskaliśmy czworokąt BFGH, który jest przekrojem danego sześcianu płaszczyzną BKL i wszystkie wierzchołki i krawędzie tego czworokąta leżą na ścianach danego sześcianu.
Można obliczyć, posiłkując się twierdzeniem Talesa, że \(\displaystyle{ AF=\frac{a}{3}}\). Również \(\displaystyle{ GD'=HB'=\frac{a}{3}=AF}\).
Dalej, oznaczmy przez I i J rzuty prostokątne odpowiednio punktów G i H na płaszczyznę ABC.
Zauważmy, że graniastosłup o podstawach IJCD oraz GHC'D' ma objętość równą dokładnie połowie objętości sześcianu.
Jedna z brył odcięta od tego sześcianu płaszczyzną BFGH (czyli BKL) jest sumą tego graniastosłupa i pewnej bryły o dodatniej objętości (konkretnie, bryły FIJBHG), ma zatem objętość większą niż połowa sześcianu, a więc i większą niż ta druga z brył odciętych płaszczyzną BKL.
-
anna_
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
W sześcianie ABCDA'B'C'D' punk K jest...
Chyba trochę prościej narysowłam ten przekrój.
Trójkąt BKL jest równoramienny, BM to jego wysokość.
Sześcian będziemy cięli wzdłuż tej wysokości.
Prosta BM przetnie krawędź A'D' w punkcie F
Prosta FL przetnie krawędź AD w punckie G
Prosta FK przetnie krawędź B'C' w punkcie E